SECTION I. — CHAPITRE II. 71

Cela posé, nous supposerons que la réduite 4 qui ré-
0

pond au quotient x’ dans la fraction continue x, soit
prise dans la première période, et nous allons chercher
combien on doit introduire de quotients incomplets

!
[

R M M - Gts

dans la réduite — pour que — et — soient deux réduites
S N N

consécutives de z. Il faut d’abord que M et M" aïent le

même si;;‘n(*, ainsi que N et N', ce qui revient à dire que

   

les fractions et — Q ne doivent être (‘OH]pI‘IS€5 ni l’une
Q,
; R R" pn P.
ni l’autre entre = et = La réduite — peut embrasser

h 0
un ou plusieurs quotients de la période de x ; mais, par
hypothèse, le nombre de ces quotients est au plus égal

; . ; ; ; P
à k— 1; il en résulte que, si le développement de —[-),3 ou
- 0

d<-Q—," coïncide, dans les premiers termes, avec le déve-
0
loppement de z', cette coïncidence ne pourra persister
au delà du (k— 1)iêe quotient; donc, si l’on introduit
> f

; ; R Ë R
k — 1 quotients dans & et par suite Æ dans g7? aucune

‘
& k

—

R'
x

P Q R
des fractions —, Æ; ne sera comprise entre S et 773 en

0 0

M » atut e boure
(‘rm—u|ue nce, les 1‘a…>01‘h — el V seront p051t1[5… D1 ces

M’
N!
seront deux réduites consécutives de z; dans le cas con-

rapports sont supérieurs à l’unité, les fractions n *
!

. . I , , » ;
traire, soit ( = c + —s c étant l’entier contenu dans Ç,
1

il viendra
_(Mo+M e HM
7 \l\C+\ j‘ll+N