66

COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

   
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
 
    
   
  
 
     

 

v étant l’un des nombres o, 1, 2, on a

n En V/Â =4 (”3&* T P3n \/Â) (”v 21e \’Â)’

Uzu — P3n gAa = (u3 — #; yŒ)”;

u Comme uz et v3 sont entiers, u,, et v,, le sont aussi ; d’ail-
leurs u, et v, ne peuvent avoir que le dénominateur 2,
puisque y est < 3; donc il en est de même de u, et de v,-
| On peut même ajouter que les nombres u7 et v, sont
ÿ tous deux entiers ou tous deux fractionnaires. En effet,
sil’on multiplie l’équation (10) par celle que l’on obtient
en y changeant \/ en — \,'_Α;, on aura, à cause de la

! formule (15), >

(16) uh — Aoû=(—1)".

|
1
â Il est évident que, si v, est entier, u, l’est aussi. Si v
| est fractionnaire, u, ne peut être entier ; car, s’il l’était,
ÀA serait divisible par 4, d’après la formule (16); alors u,
serait entier d’après la formule (15), et v, le serait aussi,
| comme on l'a vu plus haut. Notre hypothèse est donc
{ inadmissible, car v, ne peut être fractionnaire quand u,
| et v, sont entiers.
i Nous avons démontré que les valeurs de w, et de v,
sont indépendantes du quotient à partir duquel on fait
E+y A
D-
On peut ajouter que ces quantités sont les mêmes pour
E + \Â E — \/Â
T eN
D D
même équation à coefficients entiers. En effet, d’après

 

commencer la période de l’irrationnelle x =

» racines de la

les formules (14), les valeurs de u, et de v, ne dépendeht
; ]

que de la somme « + 6', puisque la différence x6/" — 64

est égale à H 1. Or, quand on passe de l’irrationnelle

E+yA

|

Ï

Ï : ;

$ les deux irrationnelles
1

;

|

|

;

|

| e u A
lune = à l'irrationnelle conjuguée + +, les fractions