SECTION I. — CHAPITRE II. 65

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u,; quant à V,, Sa valeur est — : soit Zce que devient
D' g

cette fraction lorsqu’on la réduit à sa plus simple expres-

sion. Le nombre D' est un multiple de g; ensuite les

formules (13) montrent que 2E" est divisible par g et

que 4 À l’est par g?; mais on a vu (n°18) que D" et E'ne

peuvent avoir un diviseur commun 6, dont le carré 6°

serait un diviseur de À : 1l en résulte que notre nombre g

est nécessairement égal à 1 ou à 2. Si g est égal à I, V4

est entier, et u, l’est aussi à cause de la formule (15). Si ‘
g est égal à 2, les nombres uw, et v, ont l’un et l’autre le -
dénominateur 2 ; en effet, dans l’hypothèse où nous nous !
plaçons, D' est pair, et si u, était entier, E" serait divi- ,
sible par 2, à cause des formules (g), et À le serait par 4,

à cause de la formule (15). Or 1l est permis de suppo-

ser, comme nous l’avons déjà dit, que les trois nombres

p. E

A ; ;
—> et = ne sont pas tous les trois entiers; donc le
9, 2 4

 

nombre u, ne peut être entier quand v, est fractionnaire.

Ce que nous venons de dire des nombres u, et v, a
lieu également, quel que soit n à l’égard des nombres u,
et v,. On voit immédiatement, par la formule (10), que
u, €l v, seront entiers si u, et v, sont eux-mêmes en-
tiers. Supposons donc que ces derniers nombres aient
le dénominateur ». Si l’on fait successivement n 2 et
n — 3, dans la formule (r0), 1l viendra, en ayant égard
à la formule (15),

oui1) — 2u;0, VA,
ttg — O, NA =— (Œui Æ 3u;) — (QuiX1)9, va.

° . — I p
On voit que, si u, et v, sont de la forme K + —» K étant
>

un entier, us et v, seront de la même forme, tandis que 13
et vs seront entiers. D’ailleurs, si l’on fait n=3p +v,
S — Als. sup., L ; 5