SECTION I. — CHAPITRE II, 61

17
on aura

(3)

I

(zl+._ I
PNOTeUE

r1

 

— a

IR

 

Cela posé, nous nous proposons de trouver la loi des ré-

duites

E P P
\ r e e
(4 J Q… ? Q, ? 9 ,

de la fraction continue égale à x, qui répondent, dans
les périodes successives, au quotient complet x’.

Si l’on représente généralement par —* celle des ré-
m

à ; s7 P ;
duites de x qui précède — , on aura d’abord

m

(5) ue

d Ÿ PirE
Q.—="+Q ;

et il est évident que la formule (5) donnera la valeur de
P/z, * 17 n l y E ë d î
Q, si l’on y remplace x" par =; on aura donc
n
& __ aBnerts âP’/z—i £
e t
Q/z 7'Q/t-l +8Q/l_{

Le second membre de cette formule est une fraction irré-
ductible ; car, si l’on retranche ses deux termes l’un de
l’autre après les avoir multipliés respectivement par Q,
et P,_4, puis par Q, et P, , on obtient pour diffé-
rences les nombres œ et $ qui sont premiers entre eux. Il
résulte de là que l’on a

Pn — dPn_1 => 8P’n-| ,

(6) ;
Qll — “Qn-—î +âQll—i °

Si l’on porte dans la formule (5) les valeurs de P,_, et de