48 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

faire à évidemment ses racines de signes contraires.
Sil’irrationnelle x se réduit en une fraction périodique
mixte, elle satisfera à une équation telle que (5), dans la-

quelle le produit des racines est, d’après la formule (6),

N p Pm—1 Pm+/.‘ sS P/n Pm +k—1 ;
L Qm—l Qm+/.- 7s Qm Qw +Æ—1
Supposous qu’il n’y ait qu’un seul quotient à avant
la période, on aura

 

m—1, Pm—î=I’ Pm:”> Q//1—1=0, Qm=l

et, par suite,
N_ PÀ+I = (IPA..
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ce rapport peut être positifou négatif; donc, dans ce cas,
les racines de l’équation (5) peuvent avoir le même
signe ou des signes contraires.

c Le

Supposons maintenant qu'il y ait plusieurs quotients
avant la période, et soient Am_15 Amyr_y les quotients
incomplets de rang m et de rang m + k; on aura

— p D — B
Pm T m—1 ”m—l+l m—2» Pm-f—/.'**‘I m+k—s Yms + P

Qm = Qm—l Ams—+ Qm—2— Qm+/r= Qm+/.*—1 Um+r—1—+—Q

Xm+k—2s

m+k—2»

= B e N .
au moyen de quoi l’expressmn générale de A devient

4

P e P \
T ) p (”m+À—1 == ”m—1\3 =T )…+A —S )
N ] mt * m+k—1 ! m+k—1 Pm‘l /

 

Î = Qmw1 an+/.‘wl \ Q " ) ;
(”m-+/;—l T Emsr) + ( An ? — k”‘I—:)')
\Qm+/.’—l Qw——l /
La différence Um4k_+—Am_1 N’est pasnulle, carautrement
la période commencerait un rang plus tôt qu'on ne l’a
supposé ; d’ailleurs le deuxième facteur du second membre
de la formule précédente est une fraction dont chaque