SECTION I. — CHAPITRE II. 47

quotient de rang m+ 1 etque cette période ait À termes
on aura
Pm Xm me1 > Pm+k'rm+k+ Pm+k———l

 

Q 3) e
) ; SZ >
QI.'L Em T an—l Qm+k'l m+k } Qm+k-—l
avec
( F\ E PR
(4) Em+k Yms

chacun des nombres m et À pouvant être égal à 1. Si
l’on résout par rapport à Xm €l Xm4+k les deux équations
comprises dans la formule (3), puis qu'on égale entre
elles les valeurs obtenues, on aura

. > "

mel" £ m—1 Qm+À—l"' _ Pm—+—k——l
E rr
> - > a

J m QnL" F m+k- Q/H+/."

équation qu’on peut mettre sous la forme

O

) Laæ—2Mzx +N=0o,

en posant, pour abréger

S L— QI)L—1QIH+/.'— Qm Qm+k—n
(6\j \2M =- Qm-—l Pm+k—Qm Pm+k—-l+Pm—l Qm+k'—Pm Qm+k—ly

Pes< P EF >
N Pm—ll m+k- F m [ m+k—1i*

On voit donc que x est encore dans ce cas, l’une des
racines d’une équation du deuxième degré à coefficients
entiers.

ConorLarre. — L’équation du deuxième degre à coef-
ficients rationnels, à laquelle satisfait une fraction con-
tinue périodique donnée, a ses deux racines de signes
contraires si la fraction continue est périodique simple,
et elle a toujours ses racines de méme signe lorsque, la
fraction continue étant périodique mixte, il_y a plu-
sieurs termes avant la pe'riode.

En effet, s’il s’agit d’une fraction périodique simple
x, l’équation (2) à laquelle cette quantité doit satis-