46 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

nous n’aurions pas établi que E, est également positit
pour des valeurs de r suffisamment grandes. Enfin il est
évident que, si x, est le quotient complet qui commence
la première période, les deux nombres E, et D, seront
nécessairement positifs à partir de la valeur n =v.

21. Tuéorème IL. — Réciproquement, toute quantite
ui se développe en une fraction continue périodique
q } / ]
est une irrationnelle du deuxième degré.

En effet, considérons une irrationnelle x qui se déve-

loppe en une fraction continue périodique ; soient —* la

n

réduite de rang n+ 1 et x, le quotient complet corres-
pondant, on aura
; P + Pri

(I) =— ——

Qn 77 Qu—r
S1 la fraction continue est périodique simple, c’est-à-dire
si la période commence au premier quotient et que cette
période ait Æ termes, on aura

DE RS

ï

alors la formule (1) donnera

… P4 w + Pys
— Qt + Qs
ou
(2) Que? — (P,— Q1 )e — P, 4 =0;

x est donc racine d’une équation du deuxième degre à
coefficients entiers. Il faut remarquer que le nombre À
peut être égal à I, et que, dans ce cas, on a P,_, = 1,,
Qk-1 — 0.

Si la fraction continue proposée est périodique mixte,
c’est-à-dire si la période ne commence qu’à partir, du