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SECTION I. — CHAPITRE II. 4

en outre, nous savons que E, et D, sont des entiers et que,
pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite,
ces mêmes nombres sont positifs. Considérons le dévelop-
pement en fraction continue, à partir de cette limite.
La formule (4) montre qu’alors on a constamment

En<\'îâ

la formule (5) nous donne ensuite, en écrivant 7 au lieu
de n—1,

D, 21/A et qs 2 /A,
V V

Ainsi lesnombres E,, D,, @n sont limités et les quotients
complets x, nepeuvent avoir qu'un nombre fini de valeurs
différentes. Donc, après un nombre d’opérations plus ou
moins grand, mais qui ne peut excéder 2 \/Î>< \/Î ou 2 À,
on retombera nécessairement sur un quotient complet
déjà obtenu ; après quoi le reste de la série des quotients
complets ou incomplets sera formé d’une même suite ou
période de termes déjà trouvés, laquelle se répétera in-
définiment. '

Il convient de remarquer que la relation (4) donne
D,_,D,<A, et l’on aurait de même, en changeant 7

en n—1, D, Dp_1 C A. Si donc on a

l)ll—1 > \ -\7
on aura
D, < VA - et--PD,-<V4,

d’où il résulte que, sile dénominateur d’un quotient com-
plet est supérieur à \/Î, le dénominateur du quotien:
précédent et celui du quotient suivant sont l’un et l’autre
inférieurs à \Î.

La démonstration précédente repose sur ce seul fait
que D, est positif pour les valeurs de n supérieures à une
certaine limite; elle subsisterait donc lors même que