44 COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Si donc, pour quelques-unes des premières valeurs
de n, o, 1, 2, ..., les nombres D, et E, peuvent être
négatifs, cette circonstance,ne pourra plus se présenter
dès que » aura atteint une certaine limite.

20. Nous pouvons maintenant établir la proposition
suivante due à Lagrange :

Trréorème I. — La fraction continue, dans laquelle
se développe une irrationnelle du deuxième degré, est
périodique, c’est-à-dire que la série des quotients com-
plets ou incomplets, à partir de celui qui occupe un cer-
tain rang, (?sffbl‘luœ'e d’une suite limitée de termes ou
période qui se reproduit in(fifininœlit la même.

En effet, soit l’irrationnelle du deuxième degré

que nous supposerons positive ; le nombre À est un en-
tier dont la valeur est donnée par la formule

4r)\

(2) F+D,D=A
et D_,, E, D sont des entiers positifs ou négatifs.
Si

— Ell 25 \/ À

G) R,

désigne généralement le quotient complet de rang n + 1,
et que a, soit le quotient incomplet correspondant, on
aura par ce qui précède,

(4) E DD = A
et

= 3 = 6h ë
{…-/ l‘;,z—#—Ïtll_1_Î).[_1/v

n—13