42 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
19. On retrouve les résultats qui précèdent par la

1 E 5 ” =R ; , ;
considération des réduites. Soit —* la (n + 1)!°M° réduite

,IL

de la fraction continue égale à x; on a

D à
- ! nn —+ Pn—l

M es — e m
Qn"fi =t- Qn—l
ou

R- VX L (Pn En /3 Pn—1Dn.) e Pn \/K°
SE r —
D ( QnEn 4 Qn—l DIL) e Qn \"VA

 

si l’on chasse les dénominateurs et que l’on égale en-
suite de part et d’autre les parties rationnelles et les
parties irrationnelles, il viendra

( 8 \! Qn En E Qn—l Dll S DP" S EQ…

!

(9\' (DPn‘—— EQn ' E,+ ( DP, ; — EQn——l )Dn = ÀQn*

En résolvant ces équations (8) et (9) par rapport à E,
et D,, et en faisant usage de la relation

P; Qn——l — Q/zpn——\ =( I,>llv

on trouve
‘ y r ; \
(“)/) E" n ’(î_ ["Qn—l Qn—ï,DPn—l_ EQ1:—1\ (_DPH“ EQ/) ]s

E X

(11) D, = (_D‘_> [(DP, — EQ,)*— AQ*];
il est évident que la quantité entre crochets, dans l’ex-
pression de E, ou de D, se compose de termes qui con-
tiennent D en facteur, et d’un terme multiplié par le
nombre À — E? qui est divisible par D. Donc les for-
mules (10) et (11) montrent que E, et D, sont des en-
tiers, ce que nous savions déjà; mais elles vont aussi
nous conduire à un autre résultat fort important.

Je dis effectivement que, si n est supérieur à une cer-

taine limite les entiers E, et D, seront toujours positifs.