SECTION I. — CHAPITRE I. 41

soit , on peut, dans la formule (3), remplacer À par
E* + D,_2 D,_;, et il vient alors

\ = , 2 >
(6) DIL T Dn—2 +2 hn—l An—s — Dn-—l Un—s 5

enfin, en remplaçant D,_, par la valeur tirée de la for-
mule (4), on obtient

(7 DB,= D,2+ (En—+— En \‘ Un »

Les formules (4) et (7) subsistent, d’après ce qu’on
vient de dire, quand on suppose n = 1. Elles contiennent
la loi de formation des quotients complets x,, et elles
montrent que, si les nombres D,_», E7_1, D,_; sont en-
tiers, les nombres E, et D, seront aussi entiers. Or,
par hypothèse, D_,, E, D sont des nombres entiers :
donc E, et D, seront eux-mêmes des entiers, ainsi que Es
et D,,..., E, et D,. Les formules (4) et (7) montrent
encore que, si D_, et D sont pairs et que E soit im-
pair, tous les nombres D, seront pairs, tandis que les
nombres E, seront impairs. :

Remarque. — Il convient de remarquer que les trois
nombres entiers D,_,, E,, D,ne peuvent avoir un divi-
seur commun 9 supérieur à l’unité. En effet, si un tel

diviseur existe, il divisera E,_, à cause de la formule (4)

et D,_» à cause de la formule (7); 11 sera donc un divi-
seur commun des trois nombres Dy_», En_1, Dn_4. On
en conclura de même qu'il est diviseur commun à D, _3,
E,_2, Dy_2, et ainsi de suite. Le nombre 6 sera donc un
diviseur commun à D_,, E, D, et, par suite, À aura le
diviseur 62. Or on peut toujours admettre qu’il n’en est

uE R

pas ainsi ; car, si, dans l’expression proposée

 

et DD sont divisibles par @ ÀA par 62, rien n’empêche de
supprimer ce facteur.