34 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

théorème énoncé, mais encore elle fait connaître les deux
carrés dans lesquels le nombre P peut être partagé (*).

Condition pour que les fractions continues qui repré-
sentent deux irrationnelles soient terminées par les
méêmes quotients.

16. Si deux irrationnelles positives x et x’ sont telles,
que les fractions continues dans lesquelles elles se déve-
loppent aient un même quotient complet y, on aura,
par les propriétés des fractions continues,

Py + P ; Ry+R
(I) u —— x x= —— »

Qy +Q Sy+s
P, Q, P,. /. étant des entiers positifs qui satisfont aux
deux conditions

PQ—QP'=—+1, RS'—SR'=+1.
Si l’on élimine y entre les équations (1), on trouvera

ax —— b

a'x+ b

n

en posant
a=—QR' — RQ, 5— RP-—PR',
a—gQs — SQ, b =SP —PS',
et l’on déduit de ces dernières formules
ab' — ba' — (PQ' — QP')(RS'— SR') =— 1.

Donc, pour que deux irrationnelles positives x et x

puissent se (Ïévelopper en des fractions continues suscep-
. n . , . ,

tibles d’étre terminées par des quotients complets égauxa
C

 

(") Jai donné pour la première fois cette démonstration dans un
article qui fait partie du tome XIIT du Journal de Mathématiques pures
et appliquées (1"° série).