32 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

de deux carrés premiers entre eux est lui-méme la somme
de deux carrés.

En effet supposons que le nombre entier P divise la
somme R?+—S? R et S étant des entiers premiers entre

rs P ; R ; ; ;
eux. Si l’on réduit la fraction g en fraction continue et que

l'on dési e * n
on désigne par 5 la réduite qui précède g°? On aura
RS — SR'=—+1;
en outre, le nombre P divisant R?+ S?, il divisera le

produit
(R2+ 8?) (R*+ s’2) — (RR' + SS’)?+ (RS'— SR’)?,
il divisera donc, quel que soit K, la somme de deux carrés
(RR' + SS* — KP,?+ (RS'— SR')?;

orle second de ces carrés est 1 ; quant au premier, il est
le carré d’un nombre Q qu'’on peut supposer inférieur à P,
; ue sy 0s P 7 = c
et même, si l'on veut, inférieur à —s à cause de l’indéter-
2,
minée K. Il résulte donc de notre hypothèse qu’on peut
trouver un nombre Q inférieur à P, tel que l’on ait

Q1
P

=— entier.

e ä ; P

Cela posé, réduisons la fraction © en fraction continue,
en opérant de manière que le nombre des quotients soit
pair. D'après la proposition établie plus haut, la suite de
ces quotients sera réciproque et elle pourra être repré-
sentée par

U y Uny +.15 Um_rs Um—19 <> <» Ag, Q, Q.

EM …
La (m—1)ième réduite —* embrasse les quotients de la pre-

m