SECTION I. — CHAPITRE I. 3x
Réciproquement, si les nombres entiers P et Q< P sa-
tisfont à la condition (8), on peut être assuré que la frac-
P E T. es
tion Q se réduira en une fraction continue' dans laquelle

les quotients formeront une suite 1‘éciproquc.

; aEtS “ Ë P ; ; ,
En effet, réduisons la fraction — en fraction continue,

Q

en nous arrangeant de manière que le nombre des quo-
tients soit pair ou impair, suivant que le signe ambigu —
exprime + ou — dans la formule (8). Alors, en désignant
par n le nombre de ces quotients et par Q’ la valeur du
premier membre de la formule (8), on aura

P,Q—Q={—1)",

mais

 

E : ; ‘ crc P P
! étant la réduite qui précède — ou —, la for-

n—1 n
mule (6) a lieu, et, en la retranchant de la précédente,
il vient

P.(Q — Qn-—1\ =Q KQ/z — P;—1)3

comme P, doit diviser le second membre de cette formule,
et que ce nombre est premier avec Q,, il doit diviser
Q— Pn_1 ; cette différence étant inférieure à P,, elle doit
être nulle, et l’on a

Pr-1—0;, 0 ;= Q/‘

La première de ces égalités démontre la proposition que
nous avions en vue.

15. Les résultats qui précèdent nous seront utiles plus
tard ; mais il n’est pas sans intérêt de montrer dès à pré-
sent comment on peut en tirer une démonstration fort
simple d’une p1‘0p05itimiinlp01‘t&nt€ dans l’Arithmétique
supérieure. Cette proposition est la suivante :

l'atorème. — Tout nombre entier qui divise la somme