26 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
car on aurait, par exemple,
n(m, — væ) C 1,
d’où
< I m, E
m, — vx — et — —x< —.
; n y >n
mais, s’il n’en est pas ainsi, comme ces parties entières
ne peuvent être que
0, I, 2, ..., (R —1),
l’exclusion du nombre zéro exige que l’une d’elles soit
la même dans deux produits différents. Soient donc
r(m,— vx) H E + €,
n(ml*— pa) =E+n,
E désignant un entier, € et n étant des quantités posi-

tives inférieures à 1. Si l’on retranche ces égalités l’une
de l’autre, il vient

 

; ts
n[(m, — m,) — (y — p)æ]=e—n,
d’ x
ou
n 4 E—n
— s7 =— «
— P niy — :J\

On peut supposer que v soit le plus grand des nombres v
et u ; la différence v—y de deux nombres inférieurs à n
est elle-même moindre que n; enfin la valeur absolue
de e— n est inférieure à 1. Le théorème énoncé résulte
donc de la formule précédente, puisque celle-ci montre
que la valeur absolue de la différence

m, — m,
,,,,, — —
v—p
sETE ; I
est inférieure à — # ;
n (‘.) —. (l./

Dans ce qu’on vient d’établir, le nombre n est quel-
conque. En le faisant croître indéfiniment on voitla pos-