SECTION I. — CHAPITRE I. 25

On voit que la réduction en fraction continue doit
être employée toutes les fois qu'il est question d’expri-
mer par les fractions les plus simples et les plus ap-
prochées qu’il est possible, soit la valeur d’une irra-
tionnelle, soit celle du rapport de deux nombres entiers
très-gränds.

Théorème de Lejeune-Dirich let.

19. La théorie des fractions continues nous a révélé

n sE A ; ; P 2
l’existence d’une infinité de fractions — susceptibles d'ex-

n

primer la valeur d’une irrationnelle donnée x, à —7 près.

I
Q
Ce fait si remarquable peut être établi directement paf
un procédé ingénieux dû à l’illustre géomètre allemand
Lejeune-Dirichlet.

Le théorème que nous nous proposons d’établir peut
être énoncé dans les termes suivants :

Tnéorème. — Dans la série des fractions qui ont pour
dénominateurs les nombres1, 2, 3, . . , n, il en existe au
moins une de dénominateur v qui dfiÈre d’une quantité

 

I m ‘ , .
, ])[H' (΀jaut ou ])(U' exces, ({ une trra-

moindre que
ny

tionnelle donnée x.
Représentons par 7n, le nombre entier immédiatement
supérieur à vx, et considérons la suite des quantités

m—xæ m— 2%, M— 3x,..., M— R%,

y
qui seront toutes moindres que l’unité. S1 l’on était as-
suré que l’un au moins des produits

n(m—x), n(m—2æ), n(m—3xæ), .. rn(m,—næ)

eût pour partie entière zéro, le théorème serait démontré,