24 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

dont le dénominateur ne surpasse pas une certaine li-

mité K, celle qui approche le plus d’une irrationnelle
donnée x.

Concevons que la quantité x ait été réduite en frac-
tion continue, puis qu’avec les réduites et les fractions
intermédiaires on ait formé les deux séries, l’une crois-
sante, l'autre décroissante, qui convergent toutes deux
vers la valeur de x.

Si le dénominateur Q, de l’une des réduites est égal à

la limite donnée K, la fraction demandée sera la réduite
D

Q—”; mais je dis que, dans tous les cas, cette fraction fera
n -

partie de l’une des deux suites formées avec les fractions
convergentes. En effet, s’il en était autrement, la fraction

=K ; ; B
demandée e tomberait entre deux termes conséeutifs

r R,
3 *, — de l’une de ces deux suites : ; mais alors B serait
k—: Sk

 

R,
supérieur à S,, la fraction ;— serait d’ailleurs plus appro-
S%

; A } & ;
chée de x que p ©t par conséquent cette dernière frac-
tion ne satisferait pas à la condition requise.

Donc, pour résoudre le problème proposé, il suffit de
réduire l’irrationnelle x en fraction continue, de former

la série des réduites de rang pair et celle des réduites de

rang impair, avec les fractions intermédiaires corre espon-
dantes ; de prendre enfin dans chaque suite la fraction qui
à le plus grand dénominateur au-dessous de la limite K.

Les deux fractions que l'on obtient de cette manière com-
prennent entre elles la quantité x, et elles fournissent les
valeurs les plus approchées par défaut et par excès, de
cette irrationnelle, quand on exclut les fractions dont
là dénominateur est supérieur à K.