Î4 COURS D’AL(ÆLBT{E SUPÉRIEURE.

Si l’on résout ‘cette équation parrapportà x, on trouve

 

 

P!z—l
‘ e 1
; Qn—l c— Pn—1 ” Q/1 Qu——1
=s —, d'où tg= ——
Pn S Q/1"‘ Qn—1 PlZ
— sm. 2
0
Cette formule montre : 1° que les différences x — —
n--1

Pn ( d A . n Pe m0
el — æ sont de même signe, d'où il résulte que x est

(\'l

comprise entre

 

P P
=— et —2 . 90 que la valeur absolue de la

Q/}*»l Qn
seconde différence est moindre que la valeur absolue de

Q

la première, car les quantités —" et x,, dont le produit
n—4

forme le premier memtbre de la formule précédente, sont
l’une et l’autre supérieures à l’unité.

d. Truéorème IM. — Si l’on réduit une quantité quel-
conque x en fraction continue, la différence entre une
réduite quelconque et la valeur de x sera moindre qu‘une
fraction ayant pour numérateur l’unitë et pour déno-
minateur le produit, des dénominateurs de la réduite
considérée et de la réduite suivante.

En effet, d’après le théorème II, x est comprise entre
ds #1 ® ; =
les deux réduites ! et —* ; par conséquent, la différence
n—t ’Qn

& -Pn—l = - . , R P/z
entre-x et —— est moindre que la différence entre —*
n n

>

P3 ; Ë . ; ;
et ——" : mais, rl”npr«-*s le théorème I (corollarre IT), cette

7 ec À
; ; ( 1 ? ;
dernière différence.est égale à —— . si doncon désigne
n—1 Vn ;

par 6 une quantité comprise entre zéro et l’unité, on
pourra écrire

ms 3| \n
.r———_\—I}

 

6
Q/l—l Q/L