8 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
d’où, par la définition des nombres Xy, X2, »» »3

A A3 I

. 2 ps
x=—a+ —, x,=a+ —> ***3 Epsr—ansr t ? ds

st # L*n

Mais, si la quantité x est irrationnelle, aucun terme de
la suite X, X1, X2, - - . Ne sera entierni même rationnel,
et l’on pourra en conséquence prolonger cette suite indé-
finiment. En effet, si quelqu’un des nombres x, X1, %2,
est rationnel, il est évident que tous ceux qui le précèdent
le sont aussi.

Si l’on élimine les quantités x4, X2, - - +, Xp_1 eENtre
les n premières des égalités (1), la valeur de x prendra
la forme

(2) xæ=a—+-

J
Un—i Ss

Xn

lorsque x est un nombre rationnel, il existe, comme on
vient de le voir, une valeur de z pour laquelle xz est ® ,
= S c I «
on peut alors supprimer la fraction — dans l’expression
n
p1‘écédenlc. Il n’en est plus ainsi lorsque x est une quan-
tité irrationnelle, mais il sera démontré que, après la sup-
3 n . I ;
pression de la fraction —, le second membre de la for-
.7În
mule (2) converge vers la valeur de x quand on fait
croître le nombre » indéfiniment.
Nous sommes ainsi conduits à étudier les expressions
de la forme

(3) a+

I .
es —
a,+,

E

où a, à,, da, -.. désignent des entiers positifs dont le