114 Der erweiterte Funktionenkalkül.

$ 9. Schlußbemerkungen zum Stufenkalkül.

In der zuletzt angenommenen Gestalt stellt die Russellsche Stufen-
logik ein logisches Instrument dar, das auch bei der Darstellung kom-
plizierter logischer Zusammenhänge;, wie sie in der Theorie der reellen
Zahlen vorliegen, nicht versagt. Wir wollen aber noch einmal auf die
prinzipielle Seite dieser Logik eingehen.

Die Schwierigkeit, die zur Aufstellung der Stufenlogik nötigte, be-,
stand darin, daß die Begriffe ‚,alle Eigenschaften“‘, .,,alle Aussagen“,
falls sie in unbeschränkter Allgemeinheit gebraucht werden, einen
Zirkel enthalten. Der Gedanke ‚der Stufenlogik war dann der fol-
gende: Wir legten einen bestimmten Individuenbereich zugrunde
und dachten uns gewisse auf die Gegenstände dieses Bereiches bezüg-
lichen Grundeigenschaften und Grundbeziehungen als gegeben. Aus
diesen leiteten sich die weiteren Prädikate durch die logischen Opera-
tionen her. Je nach der Art ihrer Definition erhielten die Funktionen
eine gewisse Stufe. Da sich dann bei den Anwendungen der Kalkül
als unzureichend herausstellte, halfen wir uns durch die Einführung
des Axioms der Reduzierbarkeit.

Was ist nun die inhaltliche Bedeutung dieses Axioms? Es ist
durchaus nicht evident, wie die übrigen Regeln des Schließens, die wir
in die Formelsprache des Funktionenkalküls gekleidet hatten. Wir
können zu Ungunsten der Reduzierbarkeitsaxioms noch mehr sagen. Bei
beliebiger Wahl der Grundeigenschaften und Grundbeziehungen ist das
Axiom der Reduzierbarkeit im allgemeinen sicher nicht erfüllt. Es
würde sich also darum handeln, in jedem vorgelegten Falle das System
der: Grundfunktionen so zu ergänzen, daß dadurch der Forderung des
Axioms entsprochen wird. Durch ein konstruktives Verfahren ist eine
derartige Ergänzung nicht zu erreichen, da die erste Stufe definitions-
gemäß durch die Operationen &, v, —, —, (x), (Ex) abgeschlossen ist.
Somit bleibt nur die Möglichkeit, das System der Grundprädikate erster
Stufe als einen an sich bestehenden Inbegriff vorauszusetzen, so daß ihre
Mannigfaltigkeit weder von den tatsächlich gegebenen Definitionen, noch
auch überhaupt von unseren Möglichkeiten des Definierens abhängt.

Dieser Bereich der Funktionen der ersten Stufe muß so weit sein,
daß das Axiom der Reduzierbarkeit zutrifft. Betrachtet man nun die
Prädikate nur insofern als verschieden, als die ihnen zugehörigen Mengen
verschieden sind, nimmt man also eine mengentheoretische Deutung
des Kalküls vor, so besagt die Forderung des Axioms der Reduzierbar-
keit: der Inbegriff der Funktionen der ersten Stufe müßte so weit
sein, daß er schon alle Funktionen enthält. Es wäre dann aber der
Gedanke :eines Stufenkalküls eine unnötige Komplikation und man
kann gleich das System aller Funktionen von demselben Typ als einen
in sich bestehenden Inbegriff voraussetzen. Es würde demnach von