$ 8. Anwendungen des Axioms der Reduzierbarkeit. 113

Es ist aber damit noch nicht gesagt, daß Vg(x, 4„) eine reelle
Zahl darstellt. Hierzu müßte man wissen, daß die zu dem Prädikat
Vg(x, An) gehörige Menge durch ein Prädikat der ersten Stufe definierbar
ist. Vg(x, 4n) ist aber selbst sicher nicht von der ersten Stufe, weil
darin ein Klammerzeichen (EP,) vorkommt. Hier ist nun die SteHe,
wo das Axiom der Reduzierbarkeit eingreift. Nach diesem Axiom”gilt

(E Pı) (x)(P,(%) >Vg (x, 4»))-
Vg(x, 4n) definiert also eine veelle Zahl,

Wir zeigen nun

(P,)(4.(P;) — £;(P„Vg(x‚ A„)))‚
d.h. die Vg(x, An) entsprechende reelle Zahl ist eine obere Schranke für
die durch An(P,) bestimmte Menge.
Setzen wir für Vg und = den definierenden Ausdruck ein, so ver-
wandelt sich diese Formel in

(Pı)(4.(Pı) — (LP.(%) — (2Q,)(Q.(%) & A.(Q,))])

und durch Umformung in

(Pı) (2)((4.(P,) & P,(x) — (EQ,)(4.(Q;) & Q1(%)))-
Die letzte Form läßt die Formel als eine Anwendung des Axioms {)
erkennen.
Es bleibt noch zu zeigen, daß Vg(x, A„x) die kleinste obere Schranke
darstellt, oder in Formeln:

P.{[Sc (P,) & (Q.)(4n(Q,) > =(Q1, Pı))1 —> <(Vg, Pı)}-

Ersctzen wir hier wieder alle Abkürzungen durch ihre Definition,
so erhält man:

){CSC(Py) & (Q.)(4n(Q,) > (%)(Q.(%x) —> P,(x)))]
—> (WLEPY)(P{(y) & A (PY)) > P,}

Man kann hier das Allzeichen (x) nach vorn bringen, erhält also:

P,}{LSc (P,) & (x) (Q.)(4n(Q;) &Q, (x) — P.(%))]
S0 (EP1)(P1(y) & An(P) — Pı0))}-

Diese Formel können wir mit Hilfe von Formel (22) ableiten.

Die angegebenen Beispiele mögen genügen, um zu zeigen, daß die
Einführung des Axioms der Reduzierbarkeit das geeignete Mittel ist,
um den Stufenkalkül zu einem System zu gestalten, mit Hilfe dessen
die Schlußweisen der höheren Mathematik gewonnen werden können.
Ein vollständiger Aufbau der Grundlagen der Mathematik mit Hilfe
des Stufcnkalkuls ist von WMAitehead und Russell gegeben worden!?.

 

A N. Whitehead and B. Russell, Principia mathematica.

Hilbert-Ackermann, Grundzüge. 8