$ 8. Anwendungen des Axioms der Reduzierbarkeit. 111

das Produkt der durch P und Q definierten reellen Zahlen dar.
(x=y-+z und x= y:z sind hier dreigliedrige Grundprädikate im
Bereiche der Rationalzahlen.)

Wir sind jetzt imstande, die Begriffe der Beschränktheit und der
oberen Grenze einer Menge von reellen Zahlen in der üblichen Weise
einzuführen. Eine Menge von reellen Zahlen wird dargestellt durch
ein Prädikatenprädikat A (P,), das der Bedingung genügt:

(P,)(4(P,) > Sc(P,)) & (P,) (Q.)((4(P) & Aeq (P,, Q1)) > 4(Q))-

Daß eine Menge A(P,) von reellen Zahlen nach oben beschränkt ist,
bedeutet, daß es eine reelle Zahl gibt, die größer oder gleich jeder Zahl
der Menge ist; in Formeln:

(EP,){Sc(P,) & (Q.)(4(0,) > =(Qv P))},

wofür wir zur Abkürzung auch (EP,) Sch(P,, 4) schreiben, in Worten,
es gibt eine Zahl P,, die eine obere Schranke der Menge A darstellt.

Wir wollen auch annehmen, daß A(P,) mindestens ein Element
enthält, daß also die Formel gilt:

(EP,) A(P))-

Als Argumentwerte von A kommen nur Prädikate erster Stufe in Be-
tracht. Was die Bestimmung der Höchststufe für die Funktion A selbst
betrifft, so muß diese mindestens gleich 2 gewählt werden, da ja 4 (P)
als Prädikatenfunktion nicht der ersten Stufe angehören kann.. Im
übrigen ist sie aber ganz beliebig, und wir nehmen irgendein festes n
als Index von A. Den Satz von der oberen Grenze kann man nun
so formulieren: Wenn eine Menge von reellen Zahlen eine obere Schranke
hat, so hat sie auch eine kleinste obere Schranke.

Der mathematische Existenzbeweis für die obere Grenze, auf seine
einfachste Form gebracht, besteht darin, daß man zu der betrachteten
Menge ’reeller Zahlen, welche eine Menge von Mengen erster Stufe ist,
die Vereinigungsmenge bildet. Nach den Bemerkungen von $ 3 dieses
Kapitels drückt sich die zu 4„,(P,) gehörige Vereinigungsmenge aus
durch das Prädikat:

(E P,) (P.(x) & A.(P1))-

Wir wollen dieses Prädikat zur Abkürzung mit Vg(x, 4») be-
zeichnen.

Von dem Prädikat Vg(x, 4») soll also gezeigt werden, daß es eine
reelle Zahl darstellt, welche die obere Grenze der Menge A4„ darstellt.

Wir müssen zuerst die durch Vg(x, A4„) bestimmte Menge über-
haupt als reelle Zahl erkennen.

Zunächst läßt sich leicht zeigen, daß die drei in Sc vereinigten
Eigenschaften für Vg gelten. Wir geben die Ableitung für die erste
Eigenschaft.,