110 Der erweiterte Funktionenkalkül.

Unter einer reellen Zahl verstehen wir dann eine Menge von ratio-
nalen Zahlen, für welche es ein definierendes Prädikat P gibt, das den
folgenden drei Bedingungen genügt:

1 (2X) P(x) & (E%)P(x)|
(„Die durch P(x) und durch P(x) bestimmten Klassen sind beide
nicht. leer.‘)
2. (x) {P(x) — (Ey) (<(x, y) & P(y))}-

(„Zu jeder rationalen Zahl, welche die Eigenschaft P besitzt, gibt es
eine größere, die gleichfalls die Eigenschaft P hat.‘‘)
3. (2){P(%) > ()(<(y; x) > P(y))}-

(„Hat x die Eigenschaft P, so haben auch alle kleineren Rational-
zahlen y die Eigenschaft P.‘‘)

Diese drei Bedingungen zusammen — wir können sie durch das
Zeichen & vereinigt denken — machen die ‚„Schnitteigenschaft‘“ eines
Prädikates aus. Diese Eigenschaft eines Prädikates wollen wir mit
Sc(P) bezeichnen. Zwei Prädikate P und © mit den Eigenschaften
Sc(P) und Sc(0) stellen dann und nur dann dieselbe reelle Zahl dar,
wenn die zu P und Q gehörigen Mengen gleich sind, d. h. wenn Aeq (P, Q)
zutrifft. Um der Forderung des Stufenkalküls Rechnung zu tragen,
müssen wir noch für die definierenden Prädikate reeller Zahlen eine
Höchststufe festsetzen. Um möglichst einfach zu verfahren, wollen
wir nur Prädikate erster Stufe zur Definition reeller Zahlen zulassen.

Jetzt können wir zunächst die Größenbeziehung zwischen reellen
Zahlen einführen. Für zwei Prädikate P,, , mit der Eigenschaft Sc
soll <(P,,0,) gleichbedeutend sein mit Imp(P,, Q,), d. h. mit

(x)(P(%) —> Q1(%))-
Oder in Formeln:
Sc(P;) & Sc(0,) — (Imp(P,, Q,) > <(P,,Q1)).
Die Aussage <(P,,0,) wird dann zu definieren sein durch

Sc(Pı) & Sc(Q,) > (<(P,, Qı) > (Imp(P,, Qı) & Aeq (P,, Q1)))-
Es läßt sich dann im Kalkül beweisen, daß die beiden Beziehungen
=(P,,Q,) und <(P,, Q,) transitiv sind. Ebenso lassen sich alle üb-
rigen Eigenschaften ableiten, die für eine Ordnungsbeziehung charak-
teristisch sind.

Die Addition und Multiplikation reeller Zahlen läßt sich auf die
der rationalen Zahlen zurückführen. Das Prädikat

(Ey) (Ez)(P,(y) & Q,(2) & (x = y + z))

stellt die Summe,
(Ey) (E2)(P,(y) & Q,(z) & (x = y - 2))