8 8. Anwendungen des Axioms der Reduzierbarkeit. 109

Da die Formel links vom —>-Zeichen mit derjenigen des Reduzierbar-
keitsaxioms übereinstimmt, so ergibt sich:
(P.)((P,) B(P;) — P(Pa))

und daraus
C) (P,) P(P,) —> (Pa) P(Pa).
Andererseits gilt (Pn)B(Pa) — D(P;)
(Anwendung von Axiom 6)).
D) (P,)®(P,) —> (P,)®(P,) (nach Regel 7’).
Aus C) und D) ergibt sich dann B).

Nun ist P„(x) > Pa(y) ein Ausdruck ® (P,), für welchen die Formel A)
beweisbar ist; denn aus

(x)(Pn(%) &> P,(%)) — (Pa(%) > Pı(%)),

(x)(Pa(x) > P,(%)) —> (Pa(y) > P,(9))
erhält man

(x)(Pa(x) > Pı(x)) > [(Pı(x) > Pı(y)) —> (Pa(%) > Pa(Y)-
Es gilt also auch für dieses 6(P) die Beziehung B), d. h.
(Pa)(Pa(%) > Pa(y)) > (Pı)(Pı(%) > Pı(y))
oder anders geschrieben
=(%, y) > =1 %, y),g:ed.

Noch charakteristischer und bedeutsamer zeigt sich die Rolle des
Axioms der Reduzierbarkeit bei der Grundlegung der Theorie der veellen
Zahlen. Wir hatten die Darstellung der Dedekindschen Theorie im Logik-
kalkül schon früher kurz angedeutet.

Nach Dedekind definieren wir eine reelle Zahl als einen ‚,Schnitt“‘,
d.h. als eine Einteilung der rationalen Zahlen in zwei Klassen mit
den folgenden ‚‚Schnitteigenschaften‘‘:

4. Jede der beiden Klassen enthält mindestens eine rationale Zahl,

2. In der ersten Klasse gibt es keine größte rationale Zahl.

3. Gehört eine Rationalzahl zur ersten Klasse, so gehören auch
alle kleineren Rationalzahlen zur ersten Klasse.

Wir brauchen nun, wie wir auch vorher schon erwähnt hatten,
bei einer Einteilung der beschriebenen Art immer nur. die erste der
beiden Klassen zu betrachten, und haben es dann mit einer. Menge von
Rationalzahlen zu tun, welche sich mit Hilfe eines sie definierenden
Prädikates darstellen läßt.

Wir gehen demnach folgendermaßen vor: Wir nehmen die rationalen
Zahlen mit ihren arithmetischen Grundbeziehungen als das System der
Gegenstände des Individuenbereiches.