108 Der erweiterte Funktionenkalkül,

der Existenz eines zu Mds(x) äquivalenten Prädikates haben wir ja
noch nicht einen symbolischen Ausdruck für ein solches Prädikat auf-
geschrieben und können daher nicht voraussetzen, daß die Funktion Scr
auf dieses Prädikat zutrifft, so daß eine wesentliche Bedingung für
das Zustandekommen des Widerspruchs fortfällt.

$ 8. Anwendungen des Axioms der Reduzierbarkeit.

Nachdem ‚gezeigt ist, daß auch bei Zulassung des Axioms der
Reduzierbarkeit. die angeführten Paradoxien ausgeschaltet bleiben, soll
an einigen Beispielen erläutert werden, wie die Hindernisse, welche zu-
nächst einer fruchtbaren Anwendung des Stufenkalküls entgegenstehen,
durch die Einführung dieses Axioms beseitigt werden.

Als ein bemerkenswerter Vorteil, den uns die Annahme des Axioms
verschafft, ist erstlich zu erwähnen, daß sie es uns ermöglicht, die
Beziehung

1(%, Y) & n (%, y)

streng formal (für jeden Wert von %) abzuleiten. Dies gelingt in der
folgenden Weise.

Wir zeigen zunächst folgendes: Es sei B(P,„) ein Funktionsaus-
druck, der von P„ abhängt, und es sei für diesen

A) (x)(Pn(x) > P_(x)) — (B(Pı) — P(Pı))
eine im Kalkül beweisbare Formel. Wir behaupten dann, es läßt sich

auch beweisen:

B) (Pn) P(Pa) > (P,) P(P,).

Beweis: Man erhält aus A), indem man das Allzeichen (P,) vor-
setzt, und nach Formel (34):

(EP,) (x)(Pa(%) > P,(x)) > (EP,)(P(P,) > D(Pa)).
(EP.)(S(P,) > S(P.))
kann durch den äquivalenten Ausdruck

(P.) P(Pı) — P(P)
ersetzt werden:
(EP;) (x)(Pa(x) > P,(%)) > ((P) P(Pi) > P(Pı)).
Setzt man hier das Allzeichen (P„) vor, und benutzt Formel (31), so

erhält man

(Pn) (EP,) (%)(Pa(%) > P,(4)) — (Pa) ((Pı) P(Pı) — Ba (Pı)).