$ 7. Das Axiom der Reduzierbarkeit. 107

Angesichts dieser Sachlage haben Whitehead und Russell den
Ausweg gewählt, daß sie, ein besonderes Postulat, das „Axiom der
Reduzierbarkeit‘““ (‚axiom of reducibility‘‘) dem Stufenkalkül hinzu-
gefügt haben.

Zum Zweck der allgemeinen Formulierung dieses Postulats er-
weitern wir den bisher nur für Prädikate definierten Begriff der Äqui-
valenz, indem wir allgemein zwei Funktionen mit Argumenten von
derselben. Art als äquivalent erklären, wenn sie für genau dieselben
Wertsysteme der Argumente zutreffen. Ferner führen wir als neue
Bezeichnung ein, daß ein Funktionsausdruck „prädikativ‘““ heiße, wenn
er die niedrigste mit der Art seiner Argumente vereinbare Stufe be-
sitzt, d. h. diejenige Stufe, welche einem Ausdruck zukommt, der die
Argumente des betrachteten Ausdrucks als einzige unbestimmte Zeichen
enthält.

Bei der Anwendung dieser Terminologie lautet unser Axiom
folgendermaßen :

„Zu jedem im Stufenkalkül vorkommenden Funktionsausdruck gibt
es einen äquivalenten prädikativen Ausdruck.‘“

Als Spezialfall ist hierin die Annahme enthalten, daß zu jedem
Prädikat P„(x) (mit beliebigem Index x“), dessen Argument sich auf
die ursprünglichen Gegenstände des Kalküls bezieht, ein äquivalentes
Prädikat der ersten Stufe existiert; d.h. in der Ausdrucksweise des
Kalküls: Für jeden Index % ist

(Pn) (E P) (x)(Pu(x) > P,(%))

eine richtige Formel.

Man könnte nun meinen, daß infolge der Annahme des Axioms
der Reduzierbarkeit die eben erst vermiedenen Widersprüche sich wieder
einstellen. Daß dies aber nicht der Fall ist, läßt sich an den behandelten
Paradoxien leicht erkennen.

Was zunächst die ersten beiden Paradoxien anbetrifft, so findet
auf diese unser Postulat gar keine Anwendung; auf die erste deshalb
nicht, weil hier die Funktion Pd(P„,) gemäß ihrer Definition bereits
prädikativ ist, und auf die zweite nicht, weil unser Axiom nur die
Funktionsausdrücke, nicht aber die Darstellungen von Aussagen betrifft.
Bei der dritten Paradoxie liegt allerdings eine Anwendungsmöglichkeit
für unser Postulat vor. Hier beruht die durch den Stufenkalkül be-
wirkte Aufhebung des Widerspruchs darauf, daß die Stufe der Funk-
tion Mds (x) um eins höher ist als der Index des in ihrer Definition
implizite auftretenden Funktionszeichens P. Dies ist nun. eine Ge-
legenheit, unsere neue Annahme zur Geltung zu bringen. Wir können
jetzt die Existenz eines zu Mds (x) äquivalenten Prädikates erster
Stufe behaupten. Dadurch wird aber nicht etwa die Wiederkehr des
früheren Widerspruchs herbeigeführt. Denn mit der Behäuptung