106 Der erweiterte Funktionenkalkül,

dikat. Wir werden also eine reelle Zahl erklären als ein Prädikat mit
einer bestimmten Eigenschaft, der sog. ‚‚Schnitteigenschaft‘“ Sc(P),
wobei wir darauf zu achten haben, daß äquivalente Prädikate dieselbe
reelle Zahl darstellen. Die reellen Zahlen müssen ferner einen be-
stimmt umgrenzten Bereich von Gegenständen bilden; denn wir
haben in der Analysis fortwährend mit Sätzen über alle reellen Zah-
len sowie über Existenz von reellen Zahlen zu tun. Wir müssen da-
her die Prädikate, die wir zur Definition reeller Zahlen nehmen, auf
einen bestimmten Bereich beschränken, und werden also z. B. nur
Prädikate erster Stufe zur Definition reeller Zahlen zulassen. Eine reelle
Zahl ist also hiernach ein Prädikat erster Stufe P,, das einer ge-
wissen Bedingung Sc(P,) genügt.

Die Summe und das Produkt zweier reeller Zahlen läßt sich dann
entsprechend definieren und auch tatsächlich wieder durch ein Prädikat
der ersten Stufe darstellen. Eine andere Frage ist es aber, ob auch
die höheren Schlußweisen der Analysis sich aus unserer logischen Theorie
ergeben. Als besonders wichtig ist dort zu nennen der Satz von der
oberen Grenze, welcher besagt, daß es zu jeder beschränkten Menge
von reellen Zahlen eine obere Grenze gibt, d. h. eine reelle Zahl @ von
der Eigenschaft, daß jede Zahl der Menge <a ist, und daß jede reelle
Zahl, die <a ist, von mindestens einer Zahl der Menge übertroffen
wird. — Ohne uns auf eine genaue formale Behandlung einzulassen —
dies soll in $ 8 ausführlich geschehen —, können wir uns leicht in-
haltlich klarmachen, daß in der Definition des Prädikats, das die obere
Grenze darstellt, das All- und Seinszeichen für Prädikate der ersten
Stufe vorkommen müßte; d. h. aber, dieses Prädikat würde selbst
von der zweiten Stufe sein und also gar keine reelle Zahl darstellen.
Wir sind also mit unserem Kalkül gar nicht imstande, den Beweis für
die Existenz der oberen Grenze zu führen.

$ 7. Das Axiom der Reduzierbarkeit.

An den vorhergehenden Beispielen zeigte sich, daß die Methode
des Stufenkalküls die Möglichkeiten des Schließens über das zulässige
Maß hinaus beschränkt, und wir werden daher suchen, eine Modifikation
anzubringen, durch die unser Kalkül eine größere Bewegungsfreiheit
erhält. Betrachten wir nun noch einmal den Beweis für die Existenz
der oberen Grenze. Die Unmöglichkeit, den Beweis im Stufenkalkül
durchzuführen, beruht darauf, daß das Prädikat, das die obere Grenze
definieren sollte, von höherer als der ersten Stufe war. Zur Vervoll-
ständigung des Beweises würde es genügen, daß es zu einem derartigen
Prädikat ein äquivalentes der ersten. Stufe gibt, da dieses Prädikat
wirklich eine reelle Zahl darstellen würde. Entsprechend verhält es sich
bei dem Cantorschen Beweis für die Existenz überabzählbarer Mengen.