$ 6. Mängel ‘ des Stufenkalküls. 105

Um nach dem Vorbilde des Cantorschen Beweises zu verfahren,
gehen. wir aus von der Annahme, es sei irgendeine Zuordnung der ver-
langten Art gegeben, d. h. eine Aussage R(x, P„), welche für eine feste
Zahl x genau durch ein Prädikat P, erfüllt wird. Wir betrachten das-
jenige Prädikat Pc(x), welches für eine Zahl x dann und nur dann
zutrifft, wenn das ihr zugeordnete Prädikat nicht auf sie zutrifft. Es
ist Pc(x) also definiert durch

(Pn) (R(x: Pn) E Pn(x)) <

Von diesem Prädikat können wir auf Grund seiner Definition beweisen,
daß es mit keinem der den Zahlen zugeordneten Prädikate überein-
stimmt. Wäre nämlich Pc der Zahl m zugeordnet, so müßte einer-
seits R(m, Pc) gelten. Andererseits müßte zufolge der Definition von
Pc(x) und wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung

Pce(m) > (R(m, Pc) —> Pce(m))
sein. Aus diesen beiden Beziehungen würde sich
Pc(m) &> Pc(m),

also ein Widerspruch, ergeben.

Mit dieser Feststellung müßten wir nun, gemäß der Analogie zum
Cantorschen Beweise, schon am Ziele sein. Tatsächlich haben wir
jedoch nur die Existenz eines Zahlenprädikates erkannt, welches von
allen durch das Prädikat R den ganzen Zahlen zugeordneten Prädikaten
verschieden ist, ohne aber nachzuweisen, daß dieses Prädikat Pc zu
unserer Menge gehört; und diese Forderung ist tatsächlich auch nicht
erfüllt. Denn die Menge enthält ja nur Prädikate %ter Stufe, während
der definierende Ausdruck für Po(%):

(Pr)(R(%, Pa) — Pa(%)),

von der (x + 1)ten Stufe ist. Es kommt also zufolge der Stufenunter-
scheidung der gewünschte Beweis gar nicht zustande.

Ganz ähnlich wie bei diesem Beispiel tritt an mehreren anderen
entscheidenden Stellen der Fall ein, daß wir durch die Sonderung der
Stufen daran verhindert werden, gewisse mathematische Schlußweisen
durch den logischen Kalkül nachzubilden. Insbesondere gilt das für
die Begründung der Theorie der reellen Zahlen. In der Mathematik sind
verschiedene Einführungen der reellen Zahlen gebräuchlich; man defi-
niert eine reelle Zahl mit Hilfe einer Cantorschen Fundamentalreihe
oder durch einen unendlichen Dezimalbruch bzw.. Dualbruch oder durch
einen Dedekindschen Schnitt. Für den Anschluß an die Logik empfiehlt
sich das Dedekindsche Verfahren, und zwar brauchen wir bei den Ein-
teilungen ‚ der rationalen Zahlen, welche einen Schnitt bilden, jeweils
nur die Klasse der kleineren zu betrachten. Eine Klasse oder eine
Menge von Rationalzahlen ist gegeben durch ein definierendes Prä-