104 Der erweiterte Funktionenkalkül.

zeichen gehörigen Aussage- und Funktionszeichen und Individuen-
variablen enthält. — Es sei etwa dieses Prädikat in der Form

(E2) (F1) (EG;) B(F,, G, , %)

darstellbar, Nach unserer Annahme über ® ist das Prädikat D(F, ,G ,2,%)
von der ersten Stufe, da es sich aus derartigen Prädikaten mit Hilfe
der Operationen &, v, , —> zusammensetzt. Aus =,(x, y) würde dann
folgen :

DG DG 2 E

Da dies für jedes Prädikat F, und G, der ersten Stufe und für jedes z
gilt, so erhält man:

(E2) (F;) (EG,) D(F;, G,‚ 2, *) > (Ez) (F;) (EG,) P(F,, G,, Z, y)-

Dieselbe Überlegung läßt sich für jedes spezielle Prädikat der zweiten
Stufe anstellen. Es gilt also allgemein

(Fo)(Fo(x) > F,()),
d. D: =1(%, y) — =,(x, y) ist bewiesen.

Diese Betrachtung hat insofern etwas Unbefriedigendes, als sie
uns nicht zu einer formalen Ableitung der Formel

=,(%, y) — =,(%, y)

aus den Axiomen verhilft. Aber jedenfalls zeigt sie doch, daß in der
Sonderung der Relationen =(x, y) kein prinzipieller Übelstand vorliegt.
Nun finden sich aber Schwierigkeiten von erheblicher Art,; wenn
wir daran gehen, die Schlußweisen der Mengenlehre und der Analysis
in unserem Kalkül darzustellen. Bereits bei dem Versuche, den Cantor-
schen Beweis für die Existenz überabzählbarer Mengen in die Aus-
drucksweise unseres Kalküls zu übertragen, stoßen wir auf ein solches
Hindernis, Hier wird man statt der Menge aller Mengen von ganzen
Zahlen, welche ja das einfachste Beispiel einer überabzählbaren Menge
bildet, die Menge aller der Prädikate betrachten, welche sich auf ganze
Zahlen als Gegenstände beziehen. Dabei muß man die Gesamtheit
dieser Prädikate insofern einschränken, als man im Sinne des Stufen-
kalküls nicht schlechthin von der Menge aller Zahlenprädikate reden
kann. Es muß vielmehr für die Prädikate, welche die Elemente der zu
betrachtenden Menge bilden sollen, eine Höchststufe festgelegt werden.
Ist nun % die gewählte Stufenzahl, so haben wir es mit.der Menge
aller Zahlenprädikate von höchstens ”ter Stufe zu tun, und es kommt
darauf an, diese Menge als überzählbar zu erweisen, d.h. zu zeigen,
daß, wenn auf irgendeine Art jeder ganzen Zahl eindeutig ein Prädikat
aus der Menge zugeordnet wird, dann unter den zugeordneten Prädi-
katen jedenfalls nicht alle Prädikate aus der Menge vorkommen.