86. Mängel des Stufenkalküls. 103

ihre Eigenschaft definiert; jedoch ist dabei der definierende Ausdruck
von der (n + 1)ten Stufe.

8 6. Mängel des Stufenkalküls,

Wir sehen, daß durch die Abgrenzung der Stufen unser erweiterter
Kalkül von den Widersprüchen, welche ihm bei der unbeschränkten
Operationsweise anhaften, befreit wird. Jetzt fragt es sich aber, ob
auf diese Weise nicht der Kalkül zu sehr eingeengt wird. Wir müssen
z. B. von dem Kalkül verlangen, daß er uns alle diejenigen Schlußweisen
liefert, welche für die Grundlegung der Mathematik eine wesentliche
Rolle spielen.

In dieser Hinsicht kann uns schon der Umstand argwöhnisch
machen, daß wir mit unserer Definition der Identität auf eine Schwierig-
keit stoßen. Da nämlich in dem Definitionsausdruck (F)(F(x) > F(y))
dem Funktionszeichen F ein Index beigefügt werden muß, so erhalten
wir statt der einen Identitätsbeziehung. je nach der Wahl des Index
verschiedene Prädikate: =,(x, y), =2(x, y) usw. Dies ist freilich des-
halb nicht so bedenklich, weil die verschiedenen Prädikate alle für die-
selben Wertepaare x, y zutreffen bzw. nicht zutreffen. Man kann sich
das auf die folgende Weise überlegen:

Zunächst ist klar, daß für jedes ” aus der Beziehung

(-Fn+l)(Fn+l(x) S I"7L+l(y))
die Beziehung
(Fr)(Fa(%x) &> Faly))

folgt, weil ja der Wertbereich von F„ in demjenigen von /„+1 ent-
halten ist. Es läßt sich also beweisen:

Z FE

Es fragt sich nun, ob auch die Umkehrung:

CZ C

gilt. Ohne wesentliche Spezialisierung können wir uns auf den Fall
n — 1 beschränken. Wir können dann die Gültigkeit des Satzes auf
inhaltliche Weise so einsehen: Ein Prädikat, das sich auf Gegenstände
bezieht, kann nur dadurch ein Ausdruck zweiter Stufe sein, daß darin
Klammerzeichen vorkommen, welche zu Aussage- und Funktions-
variablen gehören. Die Darstellung eines solchen Prädikates kann
so gewählt werden, daß jene Klammerzeichen sowie solche, die zu
Individuenvariablen gehören, am Anfang stehen und darauf ein Aus-
druck folgt, welcher außer dem Argument des darzustellenden Prä-
dikats als Argumente nur die zu den vorausstehenden Klammer-