102 Der erweiterte Funktionenkalkül,

des Funktionenkalküls eine wesentliche Einschränkung der formalen
Operationsweise bedeutet.

Es kommt nun vor allem darauf an, sich zu überzeugen, daß durch
den Stufenkalkül die in den Paradoxien hervortretenden Widersprüche
vermieden werden. Betrachten wir daraufhin die drei besprochenen
Paradoxien, so zeigt sich folgendes:

Bei der ersten Paradoxie fällt die Möglichkeit fort, eine auf alle
Prädikate P anwendbare Funktion Pd(P) zu definieren. Nehmen wir
statt dessen eine Funktion Pd(P,„) mit einem bestimmten Zahlenwert
von %, so gehört diese nicht mehr der Theorie der “”ten Stufe an, und
dasselbe gilt von Pd(P„). Demnach kommt Pd nicht als Wert des
Argumentes P, von Pd in Betracht. Der Ausdruck Pd(Pd) kann
also überhaupt nicht gebildet werden.

In der zweiten Paradoxie enthält der Ausdruck

(X)(Bh (X) — X)

eine Allgemeinheit, welche sich auf die Gesamtheit aller Aussagen be-
zieht. Beschränken wir nun gemäß der Forderung des Stufenkalküls
die Variabilität von X auf eine gewisse Höchststufe, indem wir dem
Zeichen X einen Index %” beilegen, so wird dadurch die gesamte Aus-
sage als ein Ausdruck (%x + 1)ter Stufe bestimmt. Infolgedessen kann
in der Formel

(Xn) { > (Bh(X,) > Xn)}

der Ausdruck %X nicht als spezieller Wert für X„ genommen werden,
so daß wir nicht zu der Formel X — %X gelangen. D.h. inhaltlich aus-
gedrückt: Wenn wir, um uns nicht auf die Gesamtheit aller Aussagen
zu beziehen, dem Ausspruch von %® den geänderten Wortlaut geben:
‚„Jede Behauptung erster Stufe, welche % im Zeitraum % aufstellt, ist
falsch‘“‘, so kann dieser Satz ohne Widersinn als richtig angenommen
werden, weil er ja eine Behauptung zweiter Stufe bildet. Entsprechend
verhält es sich, wenn in der Formulierung des Ausspruchs von % statt
„Behauptung erster Stufe‘“ gesagt wird ‚„„Behauptung von höchstens
zweiter Stufe‘“ oder ‚„„Behauptung von höchstens dritter Stufe‘““ usw.

Bei der dritten Paradoxie kommt im Begriff einer symbolisch
definierten Zahl eine Beziehung auf die Gesamtheit aller Prädikate
vor, was sich in dem Ausdruck für das Prädikat Dsc(x) durch das
Auftreten des Existentialzeichens (E£P) geltend macht. Nehmen wir
hier im Sinne des Stufenkalküls eine Verschärfung der Begriffsbildung
vor, indem wir, statt schlechthin von einer symbolisch definierten Zahl
zu sprechen, genauer angeben, von welcher Höchststufe der definierende
Ausdruck sein soll, so kommt kein Widerspruch zustande; denn die
kleinste der Zahlen, welche im 20. Jahrhundert niemals durch einen
Ausdruck von höchstens u“ ter Stufe definiert ist, wird zwar durch diese