8 5. Die Methode des Stufenkalküls, 101

Um die Stufenunterscheidung in unserer Symbolik zur Geltung
zu bringen, wollen wir die Aussage- und Funktionszeichen mit Zahlen-
indizes versehen. Diese Bezeichnung ist so zu verstehen, daß der Wert-
bereich ‚eines Aussagezeichens X bzw. eines Funktionszeichens F„ auf
solche Aussagen bzw. Funktionen eingeschränkt ist, welche in der Theorie
der ”ten Stufe enthalten sind. Von jedem Ausdruck, welcher eine
Aussage oder eine bestimmte Funktion darstellen soll, verlangen wir
jetzt, daß jedem darin vorkommenden Aussage- oder Funktionszeichen
ein. Index-beigefügt ist. Ein Funktionszeichen bekommt immer einen
größeren Index als. jedes seiner Argumente. Ein Funktionszeichen  mit
dem Index’ 1 hat als Argumente immer die Gegenstände des ursprüng-
lichen Individuenbereichs.

Unsere Axiome sind die gleichen wie beim engeren Funktions-
kalkül. Nur hat man bei Anwendung der Axiome die Aussagen- und
Funktionsvariablen mit Indizes zu versehen. An Stelle des Axioms (e):
(x) F(x) — F(y) hat man eine Axiomenregel: Jede Formel von der Form:

(Fn (X) S LA(Y),
(4n) Fm(4n) —& Fm(Ba) ((m > n))
(Gn) Fm(Gn) E Fm(Hn)

darf als Axiom genommen werden. Dabei sind 4, und B, Aussagen-
und G, und H„ Funktionsvariable. Das Entsprechende gilt für das
Axiom f) und die Regel 7).

Bei der Einsetzung ist zu beachten, daß für Aussagen- und Funk-
tionsvariable nur solche Aussagen- und Funktionsausdrücke eingesetzt
werden, die von derselben oder kleinerer Stufe sind. Dabei ist der
Index eines Ausdrucks folgendermaßen zu definieren: Ist % der höchste
in dem Ausdruck‘ vorkommende Index, so ist der Index des ganzen
Ausdrücks gleich ” + 1, falls ein Klammerzeichen vorkommt, ‚das zu
einer Variablen. vom Index ” gehört und sonst gleich %. Bei den Funk-
tionsausdrücken hängt die Definition des Index außerdem noch da-
von ab, was man als Argumente.des betreffenden‘ Ausdrucks ansieht.
Es muß hier der Index eventuell so weit erhöht werden, daß er größer
ist als der Index aller Argumente. Z.B. ist der Funktionsausdruck
F(x) > G,(x) ein Individuenprädikat der ersten Stufe, aber eine Funk-
tionenfunktion der zweiten Stufe. Bei der Feststellung des Index eines
Ausdrucks sind als vorkommende Indizes auch ‚alle diejenigen mit-
zurechnen, welche eventuell in der Definition eines zur Abkürzung
gebrauchten Zeichens auftreten.

Auf diese Art wird eine neue Form des Kalküls, der Stufenkalkül,
begründet, welcher eine Erweiterung des ursprünglichen Funktionen-
kalküls darstellt, da dieser ja als Theorie der ersten Stufe in ihm ent-
halten ist, der aber im Vergleich mit unserer vorherigen Erweiterung