$ 5. Die Methode des Stufenkalküls. 99 herein gegeben angenommen, und durch die Beziehung auf solche Gesamtheiten von Individuen erhielt das Operieren mit den Variablen (insbesondere mit den Klammerzeichen) seine logische Bedeutung. Die Erweiterung des Kalküls bestand nun darin, daß wir auch die Aus- sagen und Prädikate als Individuen betrachteten und demnach sym- bolische Ausdrücke zuließen, deren logische Deutung eine Bezugnahme auf die Gesamtheit der Aussagen bzw. der Funktionen erforderte. Dies Vorgehen ist nun in der Tat bedenklich, insofern dabei nämlich jene Ausdrücke, welche erst durch die Bezugnahme auf die Gesamtheit der Aussagen bzw. Funktionen ihren Inhalt gewinnen, ihrerseits wieder zu den Aussagen oder Funktionen hinzugerechnet werden, während wir doch andererseits, um uns auf die Gesamtheit der Aussagen und Funk- tionen beziehen zu können, diese als von vornherein bestimmt ansehen müssen. Hier liegt also eine Art von logischem Zirkel vor, und wir haben Grund zu der Annahme, daß dieser Zirkel die Ursache der Para- doxien ist. Somit entsteht für uns, wenn wir auf die Möglichkeit, die Aus- sagen und Funktionen als Werte von Argumenten logischer Funktionen zu nehmen, nicht verzichten wollen, die Aufgabe, das formale Operieren mit den Aussage- und Funktionsvariablen so zu gestalten, daß jene an- fechtbaren Bildungen von Aussagen- und Funktionsgesamtheiten ver- mieden werden. In Verfolgung dieses Gedankens werden wir auf die sogenannte Typentheorie oder den Stufenkalkül von Whitehead und Russell geführt. Wir können bei dieser Theorie zwei verschiedene Gesichtspunkte unterscheiden. Das erste ist, daß alles, was als Argument in die Leerstelle einer Funktion eingesetzt werden kann, von ganz an- derem Charakter ist als die Funktion selbst. Zur Charakterisierung einer Funktion ist nun die Angabe ihres Definitionsbereichs not- wendig. Nach unserem Prinzip darf dann zum Definitionsbereiche nichts gehören, was von der Funktion selbst abhängt. — So gelangen wir zu einer Begriffsbeziehung, die Russell eine Hierarchie der Typennennt. Zum ersten Typ gehören die Individuen der ursprünglich gegebenen Sy- steme. Zum zweiten Typ gehören die Individuenprädikate. Allgemein gehören zum (% + 1) ten Typ solche logische Funktionen, bei denen alle Ar- gumente einen Typ