$ 4. Die logischen Paradoxien. 97

sache, daß nicht alle Zahlen im 20. Jahrhundert symbolisch definiert
werden können,
(Ex) Dsc(%),

und endlich die Formel Scr (Mds), welche besagt, daß ein Ausdruck für
Mds(x) im 20. Jahrhundert aufgeschrieben ist, und die also eine richtige
Behauptung darstellt, da wir vorhin den Ausdruck für Mds(x) aufge-
schrieben haben.

Jetzt kann man die folgende formale Schlußweise ausführen. In
der Formel

(Ex) P(x) — (Ex)[P(x) & (y)(< (y, %) — Py))]
setze man für. P Dsc ein:
(Ex) Dsc (x) > (Ex)[Dse (x) & (y)(< (y, x) > Dsc ())].
Da (Ex)Dsc(x) richtig ist, so ergibt sich
(Ex)[Dsc (x) & (y)(< (y, x) + Dsc(3))],
also bei Anwendung der Abkürzung Mäds (x):
(Ex)Mds(x).
Zufolge der Definition von Mds besteht die Beziehung
Mds(x) — Dsc(x).
Ferner läßt sich mit Hilfe der aufgestellten Axiome die Formel
Mds (x) > Mds(x) & (y)(Mds (y) > =(x, y)),
dYb: Mds(x) — Df (Mds, x)
ableiten. Aus der letzten und vorvorletzten Formel zusammen ergibt
S Mds (x) —> Dsc (x). & D£(Mds, x).
Nach der zu Formel (34) gehörigen Regel erhält man weiter:
(Ex) Mds (x) — (Ex)(Dsc (x) & Df(Mds, x)).
Da (Ex)Mds(x) bewiesen ist, so liefert das Schlußschema:
(Ex)(Dsc (x) & Df(Mds, %)).
Nimmt man hierzu die als Axiom aufgestellte Formel Scr (Mds) , so folgt :
(Ex){Dsc (x) & Df(Mds, x) & Scr (Mds)}.
Nun gilt nach Axiom f) die Formel

F(Q) > (EP)F(P).

Hilbert-Ackermann, Grundzüge.,