96 Der erweiterte Funktionenkalkül.

einer Zahl in Betracht, welche im Sinne unserer logischen Symbolik
durch das Aufschreiben eines Ausdrucks für ein die Zahl definierendes
Prädikat stattfinden. Dabei verstehen wir unter einem die Zahl x
definierenden Prädikat ein solches, das auf die Zahl x, sonst aber auf
nichts zutrifft*. Auf diese Weise gelangen wir zu folgender Fassung
der Paradoxie:

Es bedeute Scr(P) die Eigenschaft eines Prädikates P, daß unter
den im 20. Jahrhundert aufgeschriebenen Ausdrücken der logischen
Symbolik mindestens einer ein Ausdruck für P ist. Das Zeichen <(x, y)
werde wie bisher für das Prädikat ‚x ist kleiner als y““ angewendet;
und zwar sollen die Leerstellen dieser Relation auf die Gattung der
positiven ganzen Zahlen bezogen werden.

Ferner möge für den Ausdruck

P(x) & (y)(P(y) — =(% y)),

welcher besagt, daß x durch das Prädikat P definiert wird, zur Ab-
kürzung D{f(P, x) geschrieben werden. Als Abkürzung für

(EP)(Df(P, x) & Scr (P))

werde das Symbol Dsc(x) angewendet.

Dsc(x) bedeutet also: ‚„„Unter den im 20. Jahrhundert aufge-
schriebenen symbolischen Ausdrücken stellt mindestens einer ein
Prädikat dar, welches x definiert‘“, oder kurz ausgesprochen: „x ist
. im 20. Jahrhundert mindestens einmal symbolisch definiert.‘“ Schließlich
werde als Abkürzung für den Ausdruck

Dsc (x) & (_\')(< (y) x) z DSC(_\’))

das Zeichen Mds(x) genommen, so daß also Mds(x) bedeutet: „x hat
die Eigenschaft, kleinste, im 20. Jahrhundert nicht symbolisch definierte
Zahl zu sein.““

Als Axiome führe man nun folgende Formeln ein: zunächst die
Ausdrücke für die Grundeigenschaften der Relation <(x, y):

(%) < (x,%)
(x) (9) @(< (%, ») & <(y, z) — <(x, 2)),
(x) (y)(=(%, 9) v <(% y)V <(y, %)),
(Ex) P(x) — (Ex)[P(x) & (y)(<(», %) + Py))]:
Von diesen 4 Axiomen bedeuten die ersten drei, daß die Beziehung <(x,y)

die ganzen Zahlen ordnet, und die letzte, daß sie sie wohlordnet. So-
dann haben wir als Axiome den symbolischen Ausdruck für die Tat-

1 Daß die Zahlen sich als Prädikatenfunktionen deuten lassen, braucht für
die vorliegende Argumentation nicht berücksichtigt zu werden,