$ 4. Die logischen Paradoxien. 95

Da Bh() eine richtige Formel ist, so erhält man
U—> M,
Andererseits 1läßt sich auch X— X beweisen. Denn zunächst gilt
A —> (X)(Bh(X) — X),
als9 —> (EX)(Bh(X) & X).
Ferner folgt aus der als richtig vorausgesetzten Formel
(X)(Bh(X) > =(@, X))

(X)(Bh(X) & X —> =(U, X) & X)
und hieraus
(EX)(Bh(X) & X) — (EX)(=(Y, X) & X),
so daß man
A —> (EX)(=(U, X) & X)
erhält.
Nun ist wegen der Bedeutung der Identität =(U,X) & X —> W eine

richtige Formel. Nach der Regel y) gewinnt man daraus:

(EX)(=(AW, X) & X) > U.
Diese Formel in Verbindung mit der eben erhaltenen liefert:
M,

Aus den bewiesenen Formeln X —> X und — A folgt aber, daß sowohl
I wie A eine richtige Formel ist, so daß wir in der Tat auf einen Wider-
spruch geführt werden.

Wir wollen nun noch eine dritte Paradoxie vorführen, von welcher
es mannigfache verschiedene Wendungen gibt. Eine einfache Form
der Darstellung ist die folgende: Jedes Bezeichnen einer Zahl, geschehe
es durch Mitteilung eines konventionellen Zeichens oder durch An-
gabe einer definierenden Eigenschaft, erfordert ein gewisses Mindest-
maß an Zeit. Daher können innerhalb einer endlichen Zeit von endlich
vielen Menschen auch nur endlich viele Zahlen bezeichnet werden.
Andererseits gibt es unendlich viele Zahlen. Somit werden im 20. Jahr-
hundert von den auf Erden lebenden Menschen sicher nicht alle Zahlen
bezeichnet. Unter den im 20. Jahrhundert nicht bezeichneten Zahlen
ist eine die kleinste. Nun ist diese Zahl aber doch im 20. Jahrhundert
bezeichnet; denn ich habe sie ja durch die Eigenschaft bestimmt, die
kleinste im 20. Jahrhundert nicht bezeichnete Zahl zu sein. Es ergibt
sich also die Existenz einer Zahl, die sowohl bezeichnet als nicht be-
zeichnet .ist.

Um diese Argumentation für den Zweck der Darstellung in unserem
Kalkül etwas zu präzisieren, ersetzen wir den Begriff der Bezeichnung
durch einen engeren Begriff. Wir ziehen nur solche Bezeichnungen