94 Der erweiterte Funktionenkalkül.

gehört sie dann und nur dann zu ihren eigenen Elementen, wenn sie
nicht zu diesen gehört.

Die zweite der zu besprechenden Paradoxien war bereits in der
griechischen Philosophie bekannt. Ihre einfachste Fassung ist die
folgende: Es sage jemand ‚ich lüge,‘ oder ausführlicher, ‚„‚ich spreche
jetzt einen falschen Satz aus‘‘; dann ist diese Aussage richtig, sofern
sie falsch ist, und sie ist falsch, sofern sie richtig ist.

Um zu erkennen, daß dieser Widerspruch sich aus unserem logischen
Kalkül ergibt, brauchen wir an der Formulierung der Paradoxie nur
eine geringe Verschärfung vorzunehmen. Es werde mit % eine be-
stimmte Person benannt, und 7 sei die abgekürzte Bezeichnung eines
bestimmten Zeitintervalls. Innerhalb dieses Zeitraums £ spreche %
den Satz aus: „Alles was ® in dem Zeitraum £ behauptet, ist falsch‘‘;
und weiter sage %® während der Zeit £ nichts. Diese Annahme ist jeden-
falls nicht widerspruchsvoll, da man ja ihre Verwirklichung absichtlich
herbeiführen kann. Um sie in der logischen Symbolik zum Ausdruck
zu bringen, bezeichnen wir die angeführte Aussage von % mit X und
wenden das Funktionszeichen Bh(X) an in der Bedeutung, ‚„„X wird
von %® im Zeitraum £ behauptet‘“, wobei als Wert des Arguments X
jede Aussage in Betracht kommt.

Mit Hilfe dieses Zeichens können wir zunächst die Aussage Y
durch die Formel

(X)(Bh(X) > X)

wiedergeben; und unsere Voraussetzung, daß % innerhalb der Zeit £
den Satz Y und sonst nichts ausspricht, stellt sich dar durch die beiden
Formeln

Bh(%); (X)(Bh(X) —> =(A, X)).

Nun kommt auf folgende Weise ein Widerspruch zustande. In
der richtigen Formel X —> X werde im zweiten. Gliede für X der Aus-
druck (X)(Bh(x) — X), welcher ja die symbolische Darstellung der
Aussage %{ bildet, eingesetzt. Dann ergibt sich

A —> (X)(Bh(X) > X).

Das Allzeichen (X) kann hier nach den Regeln des. Kalküls fortge-
lassen werden.,
X —> (Bh(X) > X).

Durch Einsetzung gewinnt man hieraus
X —> (Bh(A) — W).

Diese Formel ist, da die Voraussetzungen vertauscht werden dürfen,
ersetzbar durch
Bh (3) — (X — Yl).