92 Der erweiterte Funktionenkalkül.

gekennzeichnet, daß sie Element jeder Menge P sind, für die F(P)
gültig ist. Demnach stellt sich der Durchschnitt dar durch:

(P)(F(P) — P(x)).

Eine Menge P heißt geordnet, wenn eine logische Funktion R von
zwei Variablen für die Elemente von P definiert ist, die nicht reflexiv,
wohl aber transitiv ist; und die für beliebige voneinander verschie-
dene x und y entweder auf das Paar (x, y) oder auf das Paar (3 X)
zutrifft. „„‚Die Menge P ist durch das Prädikat R geordnet‘“‘, stellt sich
danach symbolisch dar durch:

(4) (y) HLP(%) & P(y) & P(2)] —> [R(x, x) & (=(x, y) v R(x, y)
v R(y, x)) & (R(x, y) & R(y, z) > R(x, 2))}}.

Wir bezeichnen diese Beziehung zwischen P und R zur Abkürzung mit
OÖ(P, R).
Die Menge P heißt durch das Prädikat R wohlgeordnet, wenn

O(P, R) & (Q) {(*)(Q(x) >P(x)) > (E y) [Q(y) & (2) (Q(2) >=(y,2) vR(y,2))]}
eine richtige Aussage ist.

In entsprechender Weise finden alle übrigen in der Mengenlehre
gebräuchlichen Begriffsbildungen im Kalkül ihre symbolische Dar-
stellung.

$ 4. Die logischen Paradoxien.

Nachdem wir uns mit der Symbolik des Kalküls vertraut gemacht
haben, käme es nun darauf an, ein System von präzisen Regeln kennen-
zulernen, das uns die Handhabung des Kalküls bei formalen Beweis-
führungen ermöglicht. Insbesondere muß genau festgelegt werden, was
man unter ‚‚Gegenstand‘‘, „„Eigenschaft‘“ und „Relation‘“ zu verstehen
hat, Die erste Möglichkeit wäre die, daß man mit diesen Begriffen
völlig uneingeschränkt operiert. Als Gegenstände wären zu betrachten
alle Individuen, alle Aussagen, Funktionen, Funktionenfunktionen usw.
Prädikate wären alle Eigenschaften, die Gegenständen zukommen
können, und entsprechend allgemein wäre der Begriff der Funk-
tionenfunktionen!. Ebenso allgemein wären die Einsetzungsregeln zu
formulieren.

Man könnte dann etwa dieselben Axiome wie beim engeren Funk-
tionenkalkül und die zugehörigen Regeln «), ß), y) benutzen, Die
Einsetzungsregel wäre nur entsprechend zu erweitern.

Ein derartiges Vorgehen wäre jedenfalls durch den unpräzisen
Sprachgebrauch nahegelegt, erweist sich aber als nicht durchführbar.

* Bei der mengentheoretischen Deutung des Kalküls entspricht diese Auf-
fassung dem Standpunkt der naiven Mengenlehre,