8 3. Darstellung der Grundbegriffe der Mengenlehre. 91

Zahl ein Prädikatenprädikat, das für alle gleichzahligen Prädikate und
nur für solche zutrifft. Der Gleichzahligkeit von Prädikaten entspricht
die Äquivalenz von Mengen (Äquivalenz hier in dem üblichen mengen-
theoretischen Sinne verstanden). Von dem logischen Anzahlbegriff ge-
langt man so zu einem mengentheoretischen; nach diesem ist eine
Zahl nichts anderes als die Menge aller mit einer bestimmten Menge
äquivalenten Mengen.

Wir wollen nun sehen, wie die üblichen Bildungen der Mengen-
lehre im Kalkül ihren symbolischen Ausdruck finden.

Sind P,(x) und P,(x) definierende Prädikate zweier Mengen, So
wird deren Vereinigungsmenge durch das Prädikat P,(x) v P,(x) gegeben.
P.(x) & Pa(x) stellt den Durchschnitt von P, und P, dar. Die Menge P,
ist in P, enthalten oder P, ist eine Teilmenge von P,, wenn
(x)(P, (x) — P,(x)) eine richtige Behauptung ist. Zwei Mengen P, und
P, sind äquivalent, wenn die Elemente beider Mengen umkehrbar
‚ eindeutig aufeinander bezogen werden können. Der symbolische Aus-

druck dafür ist derselbe wie für die. Gleichzahligkeit von Prädikaten.
Der Ausdruck

(x) (y) @}{CR(x, y) & R(x, z) — =(y, 2)] & [R(x, z) & R(y, z) > =(% 9)])

oder abgekürzt Eind(R) bedeutet, daß die Beziehung R(x, y), falls sie
besteht, beiderseits eindeutig ist. Der symbolische Ausdruck für die
(mengentheoretische) Äquivalenz von P, und P, ist dann:

(ERH{(x)[Pı(x) > (Ey)(R(x, y) & Pr(y))1& (y)LP2(y) — (Ex)(R(x, y)
& P,(x))] & Eind (R)}.

Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen durch D definierten
Menge wird durch eine gewisse Funktionenfunktion Te (P) [oder besser
Te(P, D)] dargestellt. Jedes Prädikat P, für das Te(P) zutrifft, muß
die Eigenschaft haben, daß alle ihre Elemente auch Elemente von D
sind. Umgekehrt muß auch für jedes Prädikat P mit dieser Eigen-
schaft Te(P) zutreffen. Demnach ist Te(P) definiert durch den Aus-
druck:

(x)(P(x) — D(%)).

Es möge ferner F(P) irgendeine Menge von Mengen darstellen.
Die Elemente x der Vereinigungsmenge dieser Menge von Mengen lassen
sich dadurch charakterisieren, daß sie Element wenigstens einer zu P ge-
hörigen Menge sind, für die F(P) besteht. Demnach erhält man als
definierenden Ausdruck für die Vereinigungsmenge

(EP)(F(P) & P(x)).

Die Elemente des Durchschmnitts der Menge von Mengen sind dadurch