90 Der erweiterte Funktionenkalkül.

Diese Bedingung ist z. B. erfüllt für Prädikatenfunktionen, die
Zahlen darstellen. Auf dieser Eigenschaft der Zahlen beruht es, daß
sie auch als Prädikate von Mengen betrachtet werden können. Die
Darstellung der Zahlen als Eigenschaften von Mengen hat gegenüber
ihrer Darstellung als Eigenschaften von Prädikaten den Vorzug, daß
die Invarianz der Anzahl bei Ersetzung eines Prädikates durch ein
äquivalentes hier selbstverständlich ist.

Aus der Beziehung zwischen Mengen und Prädikaten ergibt sich
weiter ein Zusammenhang zwischen den Mengen von Mengen und
Prädikatenprädikaten. Jede Menge von Mengen ist definiert durch
eine Eigenschaft, welche den ihr angehörigen Mengen zukommt.

Nehmen wir nun zwei Mengenprädikate, d.h. zwei Prädikaten-
funktionen F(P) und G(P), die der Bedingung M (F) und M(G) ge-
nügen. Diesen beiden Mengenprädikaten F und G entspricht dieselbe
Menge von Mengen, wenn F und G für dieselben Mengen zutreffen
bzw. nicht zutreffen. Die Beziehung (P)(F(P) = G(P)) bedeutet also,
daß die F und G entsprechenden Mengen von Mengen identisch sind.

Die mengentheoretische Interpretation des erweiterten Funktionen-
kalküls läßt sich auch auf die Prädikate mit mehreren Leerstellen
ausdehnen. Jedes Prädikat R(x,y) wählt aus der Menge aller mög-
lichen Paare (x,y) eine bestimmte Menge von geordneten Paaren
heraus, nämlich die Menge derjenigen Paare (x, y), für die R(x, y)
besteht. Die zugehörigen Mengen sind bei zwei Prädikaten R, und R,
identisch, wenn die Beziehung Aeq (R,, R>,), d.h. (x)(y)(Rılx, y)
> (R,(x, y)) gesteht. Soll eine Prädikatenfunktion F(R) als Funktion
der zu den Relationen gehörigen Mengen gedeutet werden können, so
muß sie der Beziehung

(Rı)(Ro){Aeq (R,, Rı) > (F(Rı) > F(R))}

Genüge leisten. Das Entsprechende gilt für Prädikate mit drei und
mehr Leerstellen.

Wir sehen daraus, daß der erweiterte Funktionenkalkül ebensogut
eine mengentheoretische wie eine rein logische Interpretation zuläßt.
Die Zahlenlehre läßt sich ganz im Sinne der mengentheoretischen Auf-
fassung behandeln. Wir sahen schon, daß man die die Zahlen definieren-
den Prädikatenprädikate ebensogut als Mengenprädikate auffassen kann.
Ferner wurde früher gesagt, daß zwei Prädikatenprädikaten &(P)
und Y(P), die Zahlen darstellen, dann dieselbe Zahl entspricht, wenn
zwischen 6 und Y die Beziehung

(PI(S(P) S (P))
besteht.
Daraus ergibt sich aber, daß man die Zahlen auch als Mengen
von Mengen auffassen kann. Bei der logischen Erklärung war eine