8 3. Darstellung der Grundbegriffe der Mengenlehre. 89

Auch hier wird es möglich sein, die im Funktionenkalkül ausdrückbaren
logischen Zusammenhänge als mengentheoretische Beziehungen auf-
zufassen.

Um diesen Zusammenhang näher zu erkennen, wollen wir zunächst
die Beziehung der Mengen zu den Prädikaten im engeren Sinne, d. h.
den Prädikaten mit einer Leerstelle, genauer ins Auge fassen. — Eine
Menge wird entweder durch Aufzählung ihrer Elemente gegeben,
oder sie wird als das System derjenigen Dinge erklärt, für die ein be-
stimmtes Prädikat gültig ist. Die erste Art der Bestimmung einer
Menge, welche nur bei endlichen Mengen möglich ist, brauchen wir
nicht eigens in Betracht zu ziehen. Es läßt sich nämlich jede Menge,
die man durch Aufzählung ihrer Elemente erhält, auch mit Hilfe eines
Prädikats definieren. Z. B. kann eine Menge, die aus drei Individuen,
a, b, c, besteht, als die Menge derjenigen Dinge %x erklärt werden, für
welche das Prädikat

E ( N = 1
zutrifft,

Wir denken uns also jede Menge durch ein Prädikat definiert.
Wir müssen dabei beachten, daß zwar jedes Prädikat die zu ihm ge-
hörige Menge, d. h. die Menge der Gegenstände, welchen es zukommt,
in eindeutiger Weise bestimmt, daß aber zu einer bestimmten Menge
nicht nur ein definierendes Prädikat gehört, sondern daß vielmehr eine
Menge auf verschiedene Arten durch Prädikate definiert werden kann,
So ist die Menge der gleichseitigen Dreiecke dieselbe wie die Menge
der gleichwinkligen Dreiecke oder, als außermathematisches Beispiel:
die Menge der jetzt lebenden Wiederkäuer stimmt überein mit der
Menge der jetzt lebenden Zweihufer.

_ Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß zwei
Prädikate P und Q dieselbe Menge bestimmen, besteht darin, daß die
beiden Prädikate äquivalent sind, daß sie also die Beziehung Aeq (P, O),
d. h. (x)(P(x) &> Q(x)) erfüllen. Im Sinne der Mengenlehre ist also die
Beziehung Aeq (P, Q) nichts anderes als die Identität von Pude

Ebenso wie man die Prädikate als Mengen auffaßt, kann man
eine Prädikatenfunktion F(P) als Eigenschaft von Mengen deuten,
Damit diese Deutung möglich ist, ist es notwendig, daß das Zutreffen
oder Nichtzutreffen von F für ein Prädikat P eindeutig durch die zu
P gehörige Menge bestimmt ist, und nach dem oben Bemerkten be-
steht die hierfür entscheidende Bedingung darin, daß die Aussagen,
welche äquivalenten Prädikaten durch die Funktion F zugeordnet
werden, gleichzeitig richtig oder gleichzeitig falsch sind. Es muß also
für die Funktion F die symbolische Beziehung

(P) (Q)}{Aeq (P, Q) > (F(P) > F(Q))}

bestehen, die wir zur Abkürzung mit M(F) bezeichnen,