88 Der erweiterte Funktionenkalkül.

Eine Zahl ist ein Prädikatenprädikat D, das die Eigenschaft 3 ()
besitzt,

Eine Schwierigkeit tritt allerdings auf, wenn wir nach der Be-
dingung fragen, unter der zwei Prädikatenprädikate ® und Y mit
den Eigenschaften 3 (®) und 3 (W) dieselbe Zahl definieren. Diese
Bedingung besteht darin, daß (P)und Y(P) für dieselben Prädikate P
wahr und für dieselben Prädikate falsch sind, daß also die Beziehung

besteht : (]))( D(P) > ‘1’(P)) .

Nehmen wir nun an, der zugrunde gelegte Individuenbereich be-
stände aus einer endlichen Anzahl von Gegenständen. Es tritt dann
der Übelstand auf, daß alle Zahlen gleichgesetzt werden, welche größer
sind als die Anzahl der Gegenstände im Individuenbereich.. Denn ist
diese Anzahl etwa kleiner als 10%, und nehmen wir. für d und V die
Prädikate, die die Zahlen 10% und 10% + 4 definieren, so trifft sowohl
V wie D auf kein Prädikat P zu. Die Relation

(P)(S(P) > W{(P))
ist also für $ und Y erfüllt, d. h. $.und. Y würden dieselbe Zahl dar-
stellen.

Um dieser Schwierigkeit zu entgehen, muß man den Individuen-
bereich als unendlich voraussetzen. Auf einen logischen Nachweis für
die Existenz einer unendlichen Gesamtheit wird dabei freilich ver-
zichtet.

Von besonderem Interesse ist auch, wie unter Zugrundelegung der
logischen Einführung des Anzahlbegriffs und allerdings wesentlicher
Benutzung des genannten Axioms der Unendlichkeit die zahlen-
theoretischen Axiome zu logischen, beweisbaren Sätzen werden. Wir
können hier aber nicht näher darauf eingehen. Die gemachten Bemer-
kungen sollten uns nur die Anwendungsfähigkeit des erweiterten Kal-
küls ins rechte Licht setzen!,

$ 3. Darstellung der Grundbegriffe der Mengenlehre
im erweiterten Kalkül.

Daß zwischen der Mengenlehre und der mathematischen Logik
ein enger Zusammenhang besteht, ergab sich schon früher bei Ver-
gleichung des Prädikaten- und des Klassenkalküls, Es konnten die-
selben logischen Formeln nach Belieben als Beziehungen zwischen
Klassen oder zwischen Prädikaten aufgefaßt werden, ohne daß es sich
bei den beiden Deutungen um verschiedene logische Zusammenhänge
handelte, Eine ähnliche Bemerkung gilt nun für den Funktionenkalkül.

! Für eine ausführliche und allgemeinverständliche Behandlung dieser Fragen
vgl. man B, Russell, Einführung in die mathematische Philosophie, München 1922.