$ 2. Anwendung des erweiterten Kalküls. e

(„Es gibt ein x, für das F (x) besteht, und jedes y, für das F(y) besteht,
ist mit diesem x identisch.‘‘)

2(F): (Ex) (Ey){= (x, y) & F(x) & F(y) & (2)[F(2) > = (x, z) v= (y, I}

(„Es gibt zwei verschiedene %x und y, auf die F zutrifft, und jedes z, ;
für das F(z) besteht, ist mit x oder mit y identisch.“‘‘)

Die Gleichzahligkeit zweier Prädikate F und G kann man als ein
individuelles Prädikatenprädikat Glz (F, G) auffassen. Da die Gleich-
zahligkeit von F und G nichts anderes bedeutet, als daß man die Gegen-
stände, auf die F, und die Gegenstände, auf die G zutrifft, umkehrbar
eindeutig aufeinander beziehen kann, so Jäßt sich Glz (F, G) durch den
folgenden Ausdruck definieren:

(ERX{(x) [F(x) > (Ey)(R(x, y) & G(y))1 & LE0) >
—> (Ex)(R(x, y) & F(x))1& (x) (») @LR(x, y) & R(x, 2) —
> =(y, 2)) & (Rlx, z) & R(y, 2) += (x,y))]

Die Addition der Zahlen läßt sich auf die Disjunktion von Prädi-
katen zurückführen. Sind nämlich F und G unverträgliche Prädikate,
und kommt dem Prädikate F die Zahl m und dem Prädikate G die
Zahl ” zu, so entspricht dem Prädikate FvG die Zahl m + %.

Auf Grund dieser Auffassung der Addition werden Zahlen-
gleichungen wie

4512 2 3=5

zu rein logischen, beweisbaren Sätzen. Z. B. stellt sich die Gleichung
1 +1=2 dar durch die logische Formel:

(F) (G)(LUnv (F, G) & 1 (F) & 1 (6)] —> 2 (F v G)),

deren rein logischer Charakter ersichtlich ist, wenn man für die Rela-
tion Unv sowie für die Prädikate 1, 2 die definierenden Ausdrücke
einsetzt.

Auch der allgemeine Zahlbegriff 1äßt sich mit den logischen Hilfs-
mitteln aufstellen. Soll ein Prädikatenprädikat ® (F) eine Zahl dar-
stellen, so muß ® den folgenden Bedingungen genügen:

Bei zwei gleichzahligen Prädikaten F und G muß @ für beide zu-
treffen oder für beide nicht zutreffen. Sind ferner zwei Prädikate F
und G nicht gleichzahlig, so darf ® höchstens für eins der beiden Prädi-
kate F und G zutreffen.

Formal stellt sich diese Bedingung für ® folgendermaßen dar:

(F) (G{(®(F) & P(G) —> Glz (F, G)) & [D(F) & Glz (F, GC) — ® (G)}}.

Der ganze Ausdruck stellt eine Eigenschaft von ® dar. Bezeichnen
wir diese zur Abkürzung mit 3(®), so können wir also sagen: