86 Der erweiterte Funktionenkalkül.

Formeln fragen. Die Lösung dieses allgemeinen Entscheidungsproblems
würde uns nicht nur die Frage nach der Beweisbarkeit einfacher geo-
metrischer Sätze zu beantworten gestatten, sondern uns auch die Ent-
scheidung über die Beweisbarkeit bzw. Unbeweisbarkeit eines be-
liebigen mathematischen Satzes wenigstens prinzipiell ermöglichen.

$ 2. Anwendung des erweiterten Kalküls zur logischen
Behandlung des Anzahlbegriffs.

Der engere Funktionenkalkül war ausreichend, falls man nichts
anderes mit ihm bezweckte als die Formalisierung des logischen Schlie-
ßens, falls es sich nur darum handelte, einzelne Theorien für sich von
ihren Prinzipien aus rein formal zu entwickeln. Sobald man aber die
Grundlagen der Theorien, insbesondere der mathematischen Theorien,
selbst zum Gegenstand der Untersuchung macht, sobald man sie darauf-
hin prüfen will, in welcher Beziehung sie zu der Logik stehen und
inwieweit sie aus rein logischen Operationen und Begriffsbildungen ge-
wonnen werden können, wird der erweiterte Kalkül unentbehrlich.

Die erste wichtige Anwendung des erweiterten Kalküls ergibt sich
bei der logischen Umntersuchung des Anzahlbegriffs. Eine Anzahl ist
kein Gegenstand im eigentlichen Sinne, sondern eine Eigenschaft. Die
Individuen, denen eine Anzahl als Eigenschaft zukommt, können die
gezählten Dinge nicht selbst sein, da jedes von den Dingen nur eines
ist, so daß eine von Eins verschiedene Anzahl danach gar nicht vor-
kommen könnte. Dagegen läßt sich die Zahl als eine Eigenschaft des-
jenigen Begriffes auffassen, unter welchem die gewählten Individuen
vereinigt werden. So kann z. B. die Tatsache, daß die Anzahl der Erd-
teile fünf ist, zwar nicht so ausgedrückt werden, daß jedem Erdteil
die Anzahl fünf zukommt; wohl aber ist es eine Eigenschaft des
Prädikates ‚„‚Erdteil sein‘, daß es auf genau fünf Individuen zutrifft.

Die Zahlen erscheinen hiernach als Eigenschaften von Prädikaten,
und für unseren Kalkül stellt sich eine bestimmte Zahl als individuelle
Prädikatenfunktion dar. Die Wichtigkeit dieser Darstellung der Zahlen
beruht darauf, daß die Prädikatenfunktionen, welche die Zahlen bilden,
sich vollständig mit Hilfe der logischen Symbole ausdrücken lassen.
Dadurch wird es möglich, die Zahlenlehre in die Logik einzubeziehen.
Für die Zahlen 0, 1, 2, d. h. für die Funktionen 0 (F), 1 (F), 2 (F) sollen
hier die Ausdrücke angegeben werden:

O(F): ABOF(x).
(„Es gibt kein x, für das F zutrifft.‘‘)

1 (F): (Ex)LF(%) & (y)(F(y) — = (%, »))].