84 Der erweiterte Funktionenkalkül.

gibt jedoch Fälle, in denen der Gebrauch des Allzeichens notwendig ist,
wenn man nicht auf wichtige Ausdrucksmöglichkeiten verzichten will.

Ein solcher Fall tritt z. B. ein, wenn man Behauptungen darstellen
will, in denen die Allgemeingültigkeit einer Aussage als Voraussetzung
auftritt. Will man z. B. ausdrücken, daß jede Relation R(x, y), welche
mit der Identität äquivalent ist, auch die Eigenschaft der Symmetrie
besitzt, so muß man dies folgendermaßen schreiben:

(R){(%) (WLR@x, y) > (F)(F(x) > F(y))] —> Sym(R)}.
Hier kann das Allzeichen (F) nicht fortgelassen werden, ohne daß der
Sinn der Aussage geändert wird.

Ebenso ist das Allzeichen unentbehrlich, falls von einem bestimmten
Ausdruck gesagt werden soll, daß er nicht für alle Werte der darin vor-
kommenden Funktionsvariablen eine richtige Formel ist. Um etwa
auszudrücken, daß (x)(y)F(x, v) keine allgemeingültige Formel ist,
können wir die Formel

(F) (%) (y) F' (%, v)
oder auch die gleichbedeutende
(EF) (Ex) (Ey)F(%, y)

anwenden. Ebenso verhält es-sich bei vielen Sätzen der Logik, die
allgemein von Aussagen, Prädikaten und Relationen handeln; z. B. gilt
das bei dem Satz, daß es zu jeder Aussage X eine Aussage Y derart
gibt, daß von den beiden Aussagen mindestens eine und nur eine richtig
ist (d.h. also bei dem Satze von der Existenz des Gegenteils einer
Aussage). Hierfür ergibt sich bei der erweiterten Symbolik die Dar-
stellung
(XAWNEYWXELEXKEEN).

Mit der bisherigen Symbolik würde sich dagegen dieser Satz nicht
wiedergeben lassen.

Durch die Erweiterung der Symbolik sind wir auch instand ge-
setzt, Probleme und deren Lösungen symbolisch zu formulieren, bei
denen wir uns bisher mit einer umständlichen inhaltlichen Beschreibung
behelfen mußten. Ich erinnere z. B. an die Überlegungen, die wir in $8
des I. Abschnittes anstellten. Die dort gefundenen Resultate lassen
sich durch die folgenden Formeln wiedergeben:

(X)(A4 X& 2,X) SA& As,

(DA A X A S AAy .
Diese Formeln geben eine Regel an, wie man einen Ausdruck, der
Klammerzeichen für Aussagenvariable enthält, durch einen äquivalenten
ersetzt, in dem diese Klammerzeichen wnicht mehr vorkommen. Man

entwickelt nämlich den Ausdruck jeweilig nach den zu den innersten
Klammerzeichen gehörigen Variablen und schafft dann diese nach der