$ 1. Notwendigkeit einer Erweiterung des Kalküls. 83

ziehungen zwischen zwei Prädikaten sind Umnverträglichkeit, Unv (F, G),
und Implikation, Imp (F, G), die symbolisch definiert sind durch:

(x)(F(%) v G(%)),
(x)(F(x) —> G(x)).

Eine noch weitergehende Ausdehnung des Formalismus besteht
darin, daß wir das Allzeichen und das Seinszeichen in Verbindung mit
Aussagen- und Funktionsvariabien anwenden; z. B. besagt die Formel

(P) (x)(P(x) v P(x)),

_ daß das Prädikatenprädikat (x)(P(x) v P(x)) für jedes Prädikat P zu-
trifft. Die Formel

(4) (F)((x)(4 —> F(x)) > (4 —> (x) F(x)))
drückt aus, daß die durch
(x%)(4 —> F(x)) > (4 — (x) F(x))

definierte Beziehung zwischen Aussagen und Prädikaten für beliebige
Aussagen und Prädikate zutrifft.

Ein Fall der gleichen Art liegt vor bei der symbolischen Formulierung
des Prinzips der vollständigen Induktion. Der Inhalt dieses Prinzips
1äßt sich folgendermaßen aussprechen:

‚„Wenn ein Prädikat von der Zahl 1 gilt, und wenn es, falls es
von irgendeiner Zahl gilt, auch von der nächstfolgenden gilt, so gilt
das Prädikat von jeder Zahl.““

Führen wir das Zeichen Seq(x, y) für die Beziehung einer Zahl
zur nächstfolgenden ein, so können wir das Prinzip so ausdrücken,
daß wir

{P(1) & (x) (y)[P(x) & Seq (x, y) — P(y) } — (x) P(x)

als eine richtige Formel postulieren.

Will man nun noch durch die Schreibweise explizit zum Ausdruck
bringen, daß die Formel für alle Prädikate P zutreffen soll, so kann
man das Allgemeinheitszeichen (P) vor die Formel setzen.

Einen weiteren charakteristischen Fall bildet die Definition der
Identität. Die Beziehung der Identität läßt sich definitorisch auf die
logischen Grundbeziehungen zurückführen, indem man %x als identisch
mit yerklärt, sofern jedes Prädikat, das für x zutrifft, auch für y zutrifft,
und umgekehrt. Im Sinne dieser Erklärung können wir das Funktions-
zeichen der Identität, =(x, y), als eine Abkürzung auffassen für den
Ausdruck

(F)(F(x) > F(y))-

In den angeführten Fällen ist der Gebrauch des Allgemeinheits-
zeichens, wenn auch sehr naheliegend, so doch nicht unerläßlich.. Es

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