Viertes Kapitel.
Der erweiterte Funktionenkalkül.

$ 1. Notwendigkeit einer Erweiterung des Kalküls.

Für die inhaltliche Einstellung, welche wir bisher dem logischen
Funktionenkalkül zugrunde legten, war wesentlich, daß wir die Aus-
sagen und logischen Funktionen scharf von den Gegenständen sonderten,
welche als Argumentwerte der Funktionen in Betracht kommen. Nun
hindert uns aber nichts, die Prädikate und Aussagen selbst als Gegen-
stände zu betrachten, denen Eigenschaften zukommen und zwischen denen
Beziehungen bestehen.

Betrachten wir z. B. einen logischen Ausdruck von der Form
(x)(4 — F(x)). Dieser kann als eine Beziehung P(A4, F) zwischen einer
Aussage und einem Prädikat aufgefaßt werden.

Eine falsche Aussage A steht mit jedem / in der Beziehung P(A, F);
eine richtige Aussage A nur mit solchen F, für die (x) F(x) gilt.

Weitere Beispiele liefern die Eigenschaften der Reflexivität, der
Symmetrie und Tramnsitivität von zweigliedrigen Relationen. Diesen ent-
sprechen 3 Funktionen: Ref (R), Sym (R) und ‚Tr (R), deren Argu-
ment R ein Funktionszeichen mit zwei Leerstellen ist. Symbolisch
drücken sich diese drei Eigenschaften folgendermaßen aus:

Refi{R): (x)R(x; x);
qym (R): (%) (y)(R(x, y) — R(y, %))

(%)
T (R) (*)(V)()[(R( y) & R(y, z) — R(x, 2))].

Alle drei Eigenschaften sind bei dem Prädikat =(x, y) (x ist iden-
tisch mit y) erfüllt, bei dem Prädikat < (x, y) hingegen nur die der
Transitivität. Es stellen also die Formeln Ref=), Sym(s), Tr6),
Tr(<) richtige Aussagen dar, während Ref(<) und Sym(<) falsche
Aussagen sind.

Eine Relation zwischen zwei Prädikaten ist die Beziehung der
„Ägquivalenz‘, Aeq (F, G), welche durch den Ausdruck (x)(F(x) > G(x))
definiert wird, und die darin besteht, daß die Prädikate F und G für
dieselben Argumentwerte zutreffen bzw. nicht zutreffen. Weitere Be-