S70) Der engere Funktionenkalkül. in dem engeren Bereich auf, in dem die mehrgliedrigen Prädikate fehlen. Wir brauchen ja nur an die früher erwähnte Formel (Ex)F(x) —> (x) F(x) zu denken, die nur für den einzahligen Individuenbereich allgemein- gültig ist. Abgesehen von den Ausdrücken, die für jeden Individuen- bereich allgemeingültig (bzw. erfüllbar) sind, und abgesehen von den- jenigen, die für keinen Bereich diese Eigenschaft haben, ist demnach die Postulierung der Allgemeingültigkeit bzw. Erfüllbarkeit eines logi- schen Ausdruckes äquivalent mit einer Aussage über die Anzahl der Indi- viduen. Im weitgehendsten Sinne kann man das Entscheidungsproblem als gelöst bezeichnen, wenn man ein Verfahren hat, das bei jedem vor- gelegten logischen Ausdruck die Entscheidung darüber gestattet, für welche Individuenbereiche er allgemeingültig bzw. erfüllbar ist und für welche mnicht, Man kann aber auch zunächst die einfachere Frage stellen, wann ein vorgelegter Ausdruck ür alle Individuenbereiche allgemeingültig ist und wann nicht. Um mit Hilfe des Entscheidungsverfahrens die Frage beantworten zu können, ob ein bestimmter Satz eines axiomatisch fundierten Gebietes aus diesen Axiomen beweisbar ist, würde die Lösung des Problems in dieser zweiten Fassung genügen. Für den Prädikaten- kalkül fanden wir den Satz, daß ein Ausdruck dann und nur dann für jeden Individuenbereich allgemeingültig ist, falls er für ganz be- stimmte endliche Individuenbereiche allgemeingültig ist. Im allge- meinen läßt sich im Funktionenkalkül ein Entscheidungsverfahren nicht auf diese Weise gewinnen. Es lassen sich nämlich Formeln aufstellen, die für jeden endlichen Individuenbereich allgemeingültig sind, nicht aber für einen unendlichen. Eine derartige Formel ist z. B. (Ex)(Ey) (Ez) (u)(l“(x‚ x%) v (F(x, y & F(y, z) & F(x, z)) v F(x, u)). Jedoch’gibt es ein bemerkenswertes Analogon zu dem obigen Satz für den Prädikatenkalkül, das von L. Löwenheim bewiesen ist. Löwen- heim hat gezeigt, daß jeder Ausdruck, der für den abzählbaren Indivi- duenbereich allgemeingültig ist, dieselbe Eigenschaft für jeden anderen Bereich hat*. Bei Löwenheim erscheint der Satz übrigens in der dualen Fassung: Jede Formel des Funktionenkalküls ist entweder widerspruchs- voll oder schon innerhalb eines abzählbar unendlichen Denkbereichs erfüllbar. Beispiele für Formeln, die für jeden Individuenbereich allgemein- gültig sind, sind sämtliche Formeln, .die man 'aus den von uns auf- gestellten Axiomen des Funktionenkalküls beweisen kann. Da zu ver- muten ist, daß das angegebene Axiomensystem alle derartigen Formeln 1 L. Löwenheim, 1. c. Für:diesen Satz von Löwenheim hat Th. Skolem einen einfacheren Beweis gegeben, s. T’h. Skolem, Logisch-kombinatorische Untersuchun- gen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze. Viderska psels- kapets Skrifter, I Math.-naturw. Kl. 1920, Nr. 4. Kristiania 1920.