78 Der engere Funktionenkalkül.

Spezialisierung der betrachteten Formel entsteht und die sich auf ein
System von höchstens 2* Individuen bezieht.

Wir teilen die Gegenstände, auf welche sich die vorgelegte falsche
Aussage (mit den Prädikaten 4,, Bo,...Ko) bezieht, in Klassen ein,
indem wir zwei Gegenstände a, b zur selben Klasse rechnen, wenn die
Aussagen n

Anı DBald)ı u Ko(d)
bezüglich wahrheitsgleich sind mit
Aa D: 0,
also A,(a) wahrheitsgleich mit 4,(6),
Bo(a) » „ Bo(d),
Ko(a) wahrheitsgleich mit K,().

Auf diese Weise erhalten wir höchstens 2* Klassen. Nämlich für
einen Gegenstand a kann A,(a) nur richtig oder falsch sein, dasselbe gilt
für Bo(a) usw. Im ganzen gibt es also nur 2* Möglichkeiten für die
Verteilung von Richtigkeit und Falschheit auf die Aussagen

AB a

und wenn für zwei Gegenstände dieselbe Verteilung vorliegt, so ge-
hören sie zur selben Klasse.

Es seien %,, X,,... &Xn die verschiedenen Klassen, die wir so er-
halten, wobei also n < 2* ist. Wir nehmen nun die Gesamtheit der
Klassen X,,&X,,...&Xp als ein neues System von Gegenständen. In
bezug auf diese Gegenstände definieren wir k Prädikate 4,, Bı,... Kı
in folgender Weise: A, trifft für die Klasse &, (S =1,...%) dann
und nur dann zu, wenn 4, auf die zu „ gehörigen ursprünglichen
Gegenstände zutrifft. Entsprechend ist die Definition von B,,...Kı.

Ersetzt man nun in einer beliebigen aus den Prädikaten 4o, Bo,...Ko
mit Hilfe der logischen Zeichen gebildeten Aussage 4y durch A,, Bo
durch B,,..., K, durch K,, und nimmt man als Werte der Variablen
anstatt der anfänglichen Gegenstände die Klassen &X,,%X,,...&X», und
ersetzt jeden gegebenenfalls in der Aussage vorkommenden bestimmten
Gegenstand durch die Klasse, zu der er gehört, so geht die Aussage
in eine ihr wahrheitsgleiche über.

Die Richtigkeit dieser Behauptung ist sofort ersichtlich, falls die be-
treffende Aussage keine Allzeichen und Seinszeichen enthält. Man be-
weist sie allgemein, indem man die Aussage in Normalform geschrieben
denkt, und von der Gültigkeit für m voranstehende Klammerzeichen
auf die Gültigkeit für m +1 Zeichen schließt.

Aus diesem Satz folgt nun insbesondere, daß jene falsche Aussage,
die gemäß unserer Annahme aus der vorgelegten Formel nach Er-