8 12. Lösungen des Entscheidungsproblems für besondere Spezialfälle. 77 keine allgemeingültige logische Formel ist. Ähnliche Überlegungen gelten natürlich für jedes beliebige Axiomensystem. Die fundamentale Bedeutung, die das Entscheidungsproblem besitzt, dürfte damit ge- nügend illustriert sein; das Entscheidungsproblem muß als das Hawpt- problem der mathematischen Logik bezeichnet werden. 8 12. Lösungen des Entscheidungsproblems für besondere Spezialfälle, Während im Aussagenkalkül das Entscheidungsproblem unschwer zu lösen war, bildet im Funktionenkalkül die Auffindung eines all- gemeinen Entscheidungsverfahrens ein noch ungelöstes schwieriges Problem. Für gewisse einfache Fälle ist es jedoch gelungen, ein der- artiges Verfahren anzugeben. Der einfachste Fall, der sich hier dar- bietet, ist der folgende: Es sollen in den logischen Ausdrücken mur Funktionsvariable mit einem Argument, also Prädikate im engeren Sinne, vorkommen; die mehr- gliedrigen Prädikate werden also ausgeschlossen. Die grundsätzliche Mög- lichkeit der Entscheidung in diesem Bereich ist zuerst von L. Löwen- heim erkannt worden!. Ein übersichtliches Entscheidungsverfahren ist von H. Behmann gegeben worden?. Löwenheim und Behmann nehmen übrigens zu den variablen Prädikaten noch die Identität als indivi- duelle Relation hinzu. Der Bereich der zugelassenen Formeln entspricht dem Bereiche, der durch Kombination des Aussagen- und Klassenkalküls entsteht, also dem Bereiche der Kantisch-Aristotelischen Logik. Wir können uns auf elementarem Wege von der Entscheidbarkeit in dem angegebenen Bereiche überzeugen. Es liege eine Formel aus diesem Bereich vor. Es sei k die An- zahl der verschiedenen in der betrachteten Formel vorkommenden Funktionszeichen 4, B...K. Wir behaupten nun: Wenn die Formel in allen Fällen, wo der Individuenbereich aus höchstens 2 Gegenständen besteht, immer richtige Aussagen (durch Einsetzung bestimmter Prädikate an Stelle von A, B, ...K) liefert, so liefert sie überhaupt immer richtige Aussagen. Zum Beweise nehmen wir an, daß die betrachtete Formel für ein gewisses System von mehr als 2* Individuen bei Ersetzung der Funktionszeichen 4, B,...K durch die bestimmten Prädikate 4,, Bo;-.. K, eine falsche Aussage ergäbe. Wir wollen dann aus dieser Aussage eine andere falsche Aussage ableiten, die ebenfalls durch ı L. Löwenheim: Über Möglichkeiten im Relativkalkül. Math. Ann. Bd. 76. 2 H. Behmann: Beiträge zur Algebra der Logik und zum Entscheidungs- problem. Math. Ann., Bd. 86.